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本书介绍了量子算法与量子密码的基础知识，对具有重要密码学应用的Shor算法、Grover算法等典型算法进行具体分析，帮助读者了解这两类量子算法在整数分解、离散对数、SAT、代数方程组等密码数学问题中的具体应用，在此基础上介绍具有理论可证明安全性的密码协议——量子密钥分发协议。本书可作为密码学、信息安全、计算机等专业本科生、研究生的教材，也可作为对量子算法与量子密码感兴趣的计算机学者、数学学者及物理学者的参考书。

第1章  绪论	1
1.1　古典密码学	2
1.2　现代密码学	4
1.2.1  私钥密码学	4
1.2.2  公钥密码学	6
1.2.3  安全协议	8
1.3　量子计算对现代密码学的影响	8
1.4　后量子时代密码学	9
第2章  量子力学基础	11
2.1　量子力学革命	11
2.1.1  黑体辐射与量子思想	12
2.1.2  波粒二象性	13
2.1.3  氢原子	15
2.1.4  矩阵力学	16
2.1.5  波动方程	16
2.2　量子力学数学基础	18
2.2.1  线性空间	18
2.2.2  线性算子	27
2.2.3  本征值与本征态	31
2.2.4  张量积	38
2.3　量子力学基本假设	40
2.3.1  波函数假设	40
2.3.2  量子态演化假设	41
2.3.3  算子假设	42
2.3.4  测量假设	43
2.3.5  粒子全同性假设	50
2.4　量子力学基本现象	50
2.4.1  量子力学基本原理	50
2.4.2  量子纠缠及其应用	54
2.4.3  贝尔不等式及其应用	56
习题	60
第3章  量子线路模型	63
3.1　量子门	64
3.1.1  单比特量子门	64
3.1.2  两比特量子门	68
3.1.3  多比特量子门	72
3.1.4  通用量子门组	74
3.2　基于量子线路模型的量子算法	81
3.2.1  量子并行性与黑盒	82
3.2.2  Deutsch-Jozsa算法	83
3.2.3  BV算法	86
3.2.4  量子傅里叶变换	88
3.2.5  Simon算法	92
3.2.6  量子相位估计算法	94
习题	97
第4章  Shor算法及其应用	100
4.1　Shor算法与整数分解问题	100
4.1.1  RSA公钥密码算法	101
4.1.2  经典整数分解算法	105
4.1.3  Shor算法	109
4.1.4  模幂的量子线路实现	117
4.2　Shor算法与离散对数问题	125
4.2.1  离散对数问题	126
4.2.2  DH密钥交换协议和EIGamal公钥密码系统	128
4.2.3  经典离散对数求解算法	133
4.2.4  Shor算法在离散对数问题中的应用	139
习题	145
第5章  量子搜索算法及其应用	148
5.1　搜索算法原理及框架	148
5.1.1  量子Oracle与搜索问题	148
5.1.2  Grover搜索算法框架	151
5.1.3  搜索算法的图形描述	154
5.2　搜索算法分析及示例	156
5.2.1  搜索算法的复杂度	156
5.2.2  搜索算法示例	157
5.2.3  多目标搜索问题	162
5.2.4  搜索算法的最优性	163
5.3　Grover算法与可满足性问题	164
5.3.1  概述	164
5.3.2  可满足性问题	164
5.3.3  量子搜索算法实现	165
5.4　Grover算法求解代数方程组	167
5.4.1  代数方程组问题	167
5.4.2  搜索方程组解的量子线路	169
5.4.3  拓展实例	171
5.5　Grover算法与密钥搜索	172
5.5.1  AES算法简介	172
5.5.2  Grover算法搜索AES密钥框架	173
5.5.3  AES算法的可逆实现	174
5.5.4  Grover算法与Simon算法的结合	182
习题	184
第6章  量子密钥分发技术	186
6.1　经典信息论基础	186
6.1.1  经典香农熵	186
6.1.2  其他经典信息熵	187
6.2　量子信息论基础	188
6.2.1  量子冯·诺依曼熵	189
6.2.2  量子保真度	190
6.2.3  Holevo界	190
6.2.4  典型量子噪声信道模型	192
6.3　QKD协议	193
6.3.1  纠缠光子QKD协议	194
6.3.2  单光子QKD协议	195
6.3.3  连续变量QKD协议	200
6.4　QKD协议理论安全性	203
6.4.1  基于纠缠提纯的安全码率	204
6.4.2  基于信息论的安全码率	205
6.5　QKD系统组成及其实际安全性	207
6.5.1  QKD系统组成	208
6.5.2  QKD系统实际安全性	216
习题	224
后记	225
参考文献	230

丛书序
进入21世纪以来，信息技术的快速发展和深度应用使得虚拟世界与物理世界加速融合，网络资源与数据资源进一步集中，人与设备通过各种无线或有线手段接入整个网络，各种网络应用、设备、人逐渐融为一体，网络空间的概念逐渐形成。人们认为，网络空间是继海、陆、空、天之后的第五维空间，也可以理解为物理世界之外的虚拟世界，是人类生存的“第二类空间”。信息网络不仅渗透到人们日常生活的方方面面，同时也控制了国家的交通、能源、金融等各类基础设施，还是军事指挥的重要基础平台，承载了巨大的社会价值和国家利益。因此，无论是技术实力雄厚的黑客组织，还是技术发达的国家机构，都在试图通过对信息网络的渗透、控制和破坏，获取相应的价值。网络空间安全问题自然成为关乎百姓生命财产安全、关系战争输赢和国家安全的重大战略问题。
要解决网络空间安全问题，必须掌握其科学发展规律。但科学发展规律的掌握非一朝一夕之功，治水、训火、利用核能都曾经历了漫长的岁月。无数事实证明，人类是有能力发现规律和认识真理的。国内外学者已出版了大量网络空间安全方面的著作，当然，相关著作还在像雨后春笋一样不断涌现。我相信有了这些基础和积累，一定能够推出更高质量、更高水平的网络空间安全著作，以进一步推动网络空间安全创新发展和进步，促进网络空间安全高水平创新人才培养，展现网络空间安全最新创新研究成果。
“网络空间安全系列丛书”出版的目标是推出体系化的、独具特色的网络空间安全系列著作。丛书主要包括五大类：基础类、密码类、系统类、网络类、应用类。部署上可动态调整，坚持“宁缺毋滥，成熟一本，出版一本”的原则，希望每本书都能提升读者的认识水平，也希望每本书都能成为经典范本。
非常感谢电子工业出版社为我们搭建了这样一个高端平台，能够使英雄有用武之地，也特别感谢编委会和作者们的大力支持和鼎力相助。
限于作者的水平，本丛书难免存在不足之处，敬请读者批评指正。

 冯登国
2022年5月于北京

前言
党的二十大报告指出：“教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑。必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力，深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势。”
近年来，以量子计算、量子通信、量子精密测量为代表的量子科技浪潮，有望改变人们传统的信息获取、传输、处理的方式和能力，加速未来信息社会的演进和科技发展，日渐受到各国政府和企业的广泛关注。一方面，各种量子计算物理系统，尤其是超导、离子阱、光学等系统的快速进展，进一步催生了“量子优越性”的演示验证；另一方面，各国政府积极出台关于量子信息的系列发展规划，国内外知名大学与研究机构都参与其中并孵化了各类量子初创公司。为抢占量子信息科技制高点，各国政府之间、各大跨国公司之间已展开激烈技术竞争。
量子技术的进步对其他领域的影响逐渐凸显，其对网络安全领域的影响在于：一方面，量子计算机的出现会导致现有的RSA、DH、ECC等主流公钥密码方案出现安全隐患；另一方面，基于量子力学原理的量子密码可以作为一种抵抗量子计算机攻击的备选密码方案。本书旨在针对以上两个方面，为密码学、网络安全专业读者提供量子算法和量子密码的实用知识，为读者进一步学习、研究量子计算和量子密码奠定基础。
本书第1章从宏观角度介绍了古典密码学、现代密码学，以及量子计算的出现对现代密码学的影响及对策；第2章简要概述了量子力学创立和发展过程中的关键思想和代表人物，重点从线性代数的视角讲解了量子力学的数学基础和量子力学的基本假设，并介绍了量子力学的奇特现象，本章的学习对后续理解量子线路模型、量子算法、量子密码等知识至关重要，已经具备相关知识的读者可以直接开始后续章节的阅读；第3章介绍了学习、理解量子线路模型所需的基础知识，如单比特量子门、两比特量子门及通用量子门组等，在此基础上介绍了几种典型的量子算法，如Deutsch-Jozsa算法、BV算法、量子傅里叶变换、Simon算法及量子相位估计算法，读者学习、理解这些算法后，可以无障碍地进入基于这些量子算法的密码分析研究中；第4章介绍了针对整数分解问题、离散对数问题的经典算法及量子（Shor）算法，着重分析了Shor算法中模幂运算的量子实现线路，该部分内容可以为读者理解Shor算法及开展量子资源估计研究奠定基础；第5章介绍了Grover算法及其在可满足性问题、求解线性方程组、搜索AES密钥中的应用；第6章介绍了理解量子密码及其安全性所需的知识，如量子冯·诺依曼熵、典型量子噪声信道模型、QKD协议及其理论、实际安全性分析等；后记针对近几年量子计算硬件、量子算法、量子密码的新进展进行了简要介绍，有助于感兴趣的读者在相关方向做进一步的研究和探索。
本书包含配套教学资源，读者可登录华信教育资源网（www.hxedu.com.cn）下载。
在本书编写过程中，课题组闫宝、张军琪两位老师对公式的推导、前后知识之间的逻辑关系提出了宝贵建议，在此表示感谢。在本书校对过程中，刘建美、王娅如、杜超、李元昊、吕礼慧、刘依婷、石文浩、马群龙、刘凤生、梁小旺等同学提出了多处修改意见，对他们的辛勤工作一并表示感谢。
从接到编写任务到成书，经历了近一年半时间，时间算起来不短，但是由于每位老师都有不同的教学、科研、工程任务，因此仍然感觉时间紧张。尽管编写组对稿件进行了多次校对，但是受时间、能力限制，难免会有一些笔误或表述不当引起的误解，敬请读者批评指正。
最后，感谢电子工业出版社各位编辑的辛勤劳动，感谢信息工程大学网络空间安全学院在本书写作过程中提供的资助，学院各级领导不时的关注对本书的尽快出版起到了极大的推动作用。

编  者     
2023年6月 于郑州

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量子算法与量子密码导论