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统计计算

作译者：田霞,徐瑞民,孙倩

出版时间：2023-11 千字数：414 版次：01-01 页数：252

开本：16开装帧： I S B N ：9787121466083

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纸质书定价：￥49.9

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目录
第1 章 优化算法 ......................................................................................................................... 1
1.1 误差 ........................................................................................................................ 1
1.1.1 误差的分类 ................................................................................................ 1
1.1.2 绝对误差和相对误差 ................................................................................ 2
1.1.3 算法的数值稳定性 .................................................................................... 4
1.2 方程求根和优化算法 ............................................................................................ 7
1.2.1 牛顿法求根 ................................................................................................ 7
1.2.2 爬山法求极值 .......................................................................................... 14
1.2.3 牛顿下山法求根 ...................................................................................... 15
1.2.4 牛顿法求一元函数的极值 ...................................................................... 17
1.2.5 梯度下降法 .............................................................................................. 18
第2 章 随机数的生成方法 ....................................................................................................... 26
2.1 服从均匀分布的随机数的生成方法 .................................................................. 26
2.1.1 平方取中法 .............................................................................................. 26
2.1.2 线性同余法 .............................................................................................. 27
2.1.3 混合同余法 .............................................................................................. 29
2.1.4 乘同余法 .................................................................................................. 31
2.1.5 素数模乘同余法 ...................................................................................... 33
2.2 服从其他分布的随机数的生成方法 .................................................................. 34
2.2.1 逆变换法 .................................................................................................. 34
2.2.2 舍选抽样法 .............................................................................................. 36
2.2.3 复合抽样法 .............................................................................................. 43
2.3 服从常见离散型分布的随机数的生成方法 ...................................................... 47
2.3.1 服从离散型均匀分布的随机数的生成方法 .......................................... 47
2.3.2 服从几何分布的随机数的生成方法 ...................................................... 49
2.3.3 服从二项分布的随机数的生成方法 ...................................................... 50
2.3.4 服从泊松分布的随机数的生成方法 ...................................................... 55
2.4 分布间的关系 ...................................................................................................... 58
2.4.1 与正态分布相关的分布 .......................................................................... 58
2.4.2 与贝塔分布相关的分布 .......................................................................... 59
2.4.3 其他分布 .................................................................................................. 62
2.5 服从常见连续型分布的随机数的生成方法 ...................................................... 62
2.5.1 服从均匀分布的随机数的生成方法 ...................................................... 62
2.5.2 服从指数分布的随机数的生成方法 ...................................................... 64
2.5.3 服从正态分布的随机数的生成方法 ...................................................... 66
2.5.4 服从卡方分布的随机数的生成方法 ...................................................... 68
第3 章 随机模拟 ....................................................................................................................... 73
3.1 使用随机模拟法求积分 ...................................................................................... 73
3.1.1 使用蒲丰投针方法计算圆周率 .............................................................. 73
3.1.2 随机投点法 .............................................................................................. 74
3.1.3 使用平均值法求积分 .............................................................................. 78
3.1.4 使用重要抽样法求积分 .......................................................................... 81
3.1.5 使用分层抽样法求积分 .......................................................................... 85
3.2 方差缩减 .............................................................................................................. 88
3.2.1 控制变量法 .............................................................................................. 88
3.2.2 对偶变量法 .............................................................................................. 89
3.3 随机模拟的应用 .................................................................................................. 91
3.3.1 停车的平均次数 ...................................................................................... 91
3.3.2 快递问题 .................................................................................................. 93
3.3.3 冰激凌销售问题 ...................................................................................... 96
3.3.4 旧笔新笔问题 .......................................................................................... 97
3.3.5 进货问题 .................................................................................................. 99
3.3.6 迷宫问题 ................................................................................................ 101
3.4 积分的计算 ........................................................................................................ 103
3.4.1 使用Python 计算积分 ........................................................................... 103
3.4.2 使用随机模拟法求积分 ........................................................................ 105
3.4.3 使用其他方法计算积分 ........................................................................ 108
第4 章 马尔可夫链蒙特卡罗方法 ......................................................................................... 114
4.1 马尔可夫链 ........................................................................................................ 114
4.1.1 马尔可夫链与一步状态转移概率矩阵 ................................................ 114
4.1.2 多步状态转移概率矩阵 ........................................................................ 116
4.1.3 不可约性和遍历性 ................................................................................ 117
4.1.4 非周期性 ................................................................................................ 120
4.2 Metropolis-Hasting 采样 .................................................................................... 123
4.2.1 Metropolis-Hasting 算法 ........................................................................ 123
4.2.2 模拟退火算法 ........................................................................................ 138
4.2.3 使用Python 中的包计算函数的最值 ................................................... 144
4.3 Gibbs 抽样.......................................................................................................... 146
4.4 马尔可夫链蒙特卡罗方法分析 ........................................................................ 150
4.4.1 马尔可夫链蒙特卡罗方法的收敛问题 ................................................ 150
4.4.2 Gelman-Rubin 检验 ............................................................................... 151
第5 章 EM 算法 ...................................................................................................................... 157
5.1 EM 算法概述 ..................................................................................................... 157
5.2 EM 算法应用 ..................................................................................................... 170
5.2.1 使用EM 算法估计混合正态分布的参数 ............................................ 170
5.2.2 使用EM 算法进行k-均值聚类 ............................................................ 173
5.3 EM 算法的收敛性 ............................................................................................. 182
第6 章 回归分析 ..................................................................................................................... 184
6.1 多元正态分布 .................................................................................................... 184
6.1.1 随机向量及数字特征 ............................................................................ 184
6.1.2 n 维正态分布 ......................................................................................... 187
6.1.3 距离 ........................................................................................................ 188
6.2 多元线性回归 .................................................................................................... 191
6.2.1 多元线性回归概述 ................................................................................ 191
6.2.2 建立模型 ................................................................................................ 192
6.2.3 回归模型的检验 .................................................................................... 194
6.2.4 用模型进行预测 .................................................................................... 198
6.2.5 使用Python 实现线性回归 ................................................................... 199
6.3 逻辑回归 ............................................................................................................ 203
第7 章 分布函数和分位数的计算 ......................................................................................... 216
7.1 连分式 ................................................................................................................ 216
7.1.1 连分式的起源 ........................................................................................ 216
7.1.2 连分式的定义和性质 ............................................................................ 217
7.1.3 计算连分式的方法 ................................................................................ 221
7.1.4 将函数展开成连分式 ............................................................................ 221
7.2 标准正态分布分布函数的计算 ........................................................................ 223
7.2.1 误差函数和分布函数 ............................................................................ 223
7.2.2 连分式展开 ............................................................................................ 225
7.2.3 使用连分式法计算标准正态分布分布函数的算法 ............................. 226
7.3 其他分布的分布函数的计算 ............................................................................ 227
7.3.1 贝塔分布的分布函数 ............................................................................ 227
7.3.2 卡方分布的分布函数 ............................................................................ 232
7.4 分位数的计算 .................................................................................................... 234
7.4.1 利用Toda 近似公式计算标准正态分布的分位数 ............................... 234
7.4.2 计算贝塔分布的分位数 ........................................................................ 234
7.4.3 计算t 分布的分位数 ............................................................................. 235
7.4.4 计算F 分布的分位数 ............................................................................ 235
7.4.5 计算卡方分布的分位数 ........................................................................ 236
附录A 统计图形 ...................................................................................................................... 238
参考文献 ..................................................................................................................................... 242

随着人工智能的飞速发展，有很多人开始学习Python。Python 是开源的开发语言，用户群体数量庞大，使用Python 解决统计计算问题既可以锻炼学生的编程能力，又可以巩固学生习得的理论知识，加深学生对统计计算理论知识的理解。由于统计计算主要考虑算法问题，因此必须与实验相配合。本书以Python 作为编程语言，完成统计计算中的实验，使用的Python 版本是Spyder 中的Python 3.5。本书一共7 章，理论部分建议学时数为48 学时，实验部分建议学时数为32 学时。第1 章为优化算法。本章包括误差、方程求根和优化算法，是后面回归分析、分布函数和分位数的计算等内容的基础知识。第2 章为随机数的生成方法。随机数在日常生活和科学研究中很常见，Python 中就有随机数生成命令，如何生成随机数、原理是什么是第2 章要解决的问题。本章主要介绍使用平方取中法和线性同余法生成在区间[0,1]上服从均匀分布的随机数（这是随机数生成的基础），以及利用逆变换法、舍选抽样法和复合抽样法生成服从离散型和连续型随机分布的随机数。第3 章为随机模拟。本章首先介绍了使用随机模拟法求积分的方法，主要包括随机投点法、平均值法、重要抽样法和分层抽样法。然后为了减小估计的渐近方差，介绍了控制变量法和对偶变量法。又介绍了使用Python 计算积分的问题、使用随机模拟求二重积分和三重积分的方法，以及使用梯形方法和辛普森公式计算积分的方法。第4 章为马尔可夫链蒙特卡罗方法。本章首先介绍了马尔可夫链的性质和细致平衡条件，然后介绍了如何使用Metropolis-Hasting 算法进行数据采样和利用模拟退火算法求解极值问题，还介绍了Python 中求最值的命令。Gibbs 抽样是一种应用更为广泛的多维分布抽样方法，它的核心是通过后验分布获得各个参数的满条件分布，并从中得到Gibbs 样本，用于解决高维抽样时的维数灾难问题，4.3 节详细对Gibbs 抽样进行了介绍。最后讨论了马尔可夫链蒙特卡罗方法的收敛问题，重点介绍了使用Gelman-Rubin 检验判断马尔可夫链蒙特卡罗方法的收敛性的方法。第5 章为EM 算法。EM 算法是一种求参数极大似然估计的迭代优化策略，可以处理数据截尾、数据缺失和数据有噪声等不完全数据的参数的极大似然估计或极大后验估计。本章介绍了用EM 算法解决三枚硬币问题、分类问题、k-均值聚类问题和高斯混合分布问题等，最后讨论了EM 算法的收敛性。第6 章为回归分析。本章主要涉及多元线性回归和逻辑回归（使用最小二乘法解决多元线性回归问题，使用梯度下降法解决逻辑回归分析问题），并给出了求解多元线性回归问题和逻辑回归问题时用到的代码。为了便于读者理解理论公式，例题中的代码分为两类：一类是使用理论计算公式编写代码，另一类是调用Python 的包。第7 章为分布函数和分位数的计算。在一般情况下，在与数理统计相关的教材中会给出常见分布的分布函数和分位数的数值表，那么这些数值是如何算出的呢？本章使用连分
式求出了标准正态分布的分布函数，再利用贝塔分布和F 分布、t 分布的分布函数的关系，求出了这三种分布的分布函数的数值，同时给出了伽玛分布和卡方分布的分布函数的算法。对于分位数的计算，本章给出标准正态分布、贝塔分布、t 分布、F 分布和卡方分布这几种分布的分位数的算法。本书每章最后均有扩展阅读，其内容是与每章内容相关的数学家的简介和成果，或者是具体内容在实际生活中的应用等。本书的部分代码展示在书中，部分代码以二维码形式放在每节后面，读者可通过扫描二维码查看。第1 章中的方程求根问题和极值问题的代码是使用公式编写的。第2 章中的产生随机数的代码是使用公式编写的。第3 章及之后章节中的代码则调用了Python 中的包。虽然Python 中包含许多标准算法，但是我们在需要解决的问题没有现成的工具可用时，或者在遇到新问题需要修改原有代码或编写新代码时，需要自己动手编程，所以自己编写代码是非常必要的，同时使用公式编程有利于读者更好地理解和掌握相关理论内容。因此本书中的部分代码是使用公式编写的，部分代码则调用了Python 中的包。本书的配套资源有例题代码和习题代码（放在二维码中），以及课件PPT、课后习题的详细解答（放在出版社的网站）。在此，感谢齐鲁工业大学数学与人工智能学部的三位主任，他们对本书的编写给予了大力的支持。感谢齐鲁工业大学数学与人工智能学部的黄玉林教授，他对本书理论部分内容给予了大量指导。感谢熊晶晶和解献文，他们对本书部分代码的编写做出了贡献。最后感谢电子工业出版社的杜军编辑对本书的支持和帮助。本书由齐鲁工业大学发展类项目（校级教材建设项目）资助，同时感谢齐鲁工业大学优秀教学团队项目对本书的资助。本书正文内容由齐鲁工业大学的田霞完成；附录部分由齐鲁工业大学的徐瑞民完成；校对工作由齐鲁工业大学的孙倩完成。
田霞
2023.7

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