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本书是基础数学领域的畅销书籍之一，全书以通俗易懂的文字和图表，结合日常生活中的大量实例，系统地介绍了数学各领域的重要基础知识，深入浅出地探讨了常见概念、原理、方法和应用。全书共14章，主要内容包括问题求解、集合论、逻辑、图论、数系、数论和实数系、代数模型、消费者数学、几何、分配、投票、计数、概率以及描述性统计等。全书强调直觉思维和可视化，以帮助读者理解相关知识并强化记忆为目标，以基本概念、例题和练习题为主线，适当引入了历史回顾、运用技术和生活中的数学等知识点，适时采用了要点、解题策略、建议、自我测试、本章复习题和本章测试等辅助手段。本书的主要读者对象是中等学校、高等学校文科类专业的学生，也可以是对数学感兴趣的中学生及其他社会公众。

第1章  问题求解  1
1.1  问题求解  1
1.1.1  乔治?波利亚解题法  1
1.1.2  解题策略  2
1.1.3  几个数学原则  7
练习1.1  11
1.2  归纳推理和演绎推理  14
1.2.1  归纳推理  15
1.2.2  错误的归纳推理  17
1.2.3  演绎推理  18
练习1.2  20
1.3  估计  23
1.3.1  舍入法  23
1.3.2  相容数字法  23
1.3.3  估计图形数据  24
练习1.3  27
本章复习题  30
本章测试  31
第2章  集合论  32
2.1  集合语言  32
2.1.1  集合的表示法  32
2.1.2  定义明确的集合  34
2.1.3  元素符号  35
2.1.4  基数  35
练习2.1  36
2.2  集合比较  39
2.2.1  集合相等  39
2.2.2  等价集合  39
2.2.3  子集  40
2.2.4  维恩图  40
练习2.2  43
2.3  集合运算  46
2.3.1  并集  46
2.3.2  交集  47
2.3.3  补集  48
2.3.4  差集  49
2.3.5  运算顺序  49
练习2.3  52
2.4  调查问题  54
2.4.1  命名维恩图  54
2.4.2  调查问题  55
2.4.3  调查问题中的矛盾  58
练习2.4  59
2.5  深入观察：无限集合  62
2.5.1  无限集合  63
2.5.2  可数集合  63
2.5.3  基数c  64
练习2.5  65
本章复习题  65
本章测试  66
第3章  逻辑  68
3.1  命题、联结词和量词  68
3.1.1  命题  68
3.1.2  联结词  69
3.1.3  量词  71
3.1.4  量词的否定  72
练习3.1  73
3.2  真值表  75
3.2.1  真值表  76
3.2.2  复合命题  77
3.2.3  逻辑等价命题  79
3.2.4  德?摩根定律  80
3.2.5  三值逻辑  82
练习3.2  83
3.3  条件和双条件  85
3.3.1  条件  85
3.3.2  条件的派生形式  87
3.3.3  条件的替代用语  88
3.3.4  双条件  89
练习3.3  89
3.4  论证的验证  92
3.4.1  论证的验证  92
3.4.2  无效论证  94
3.4.3  有效论证形式和谬误  95
练习3.4  96
3.5  用欧拉图验证三段论  99
3.5.1  有效三段论  99
3.5.2  无效三段论  100
练习3.5  103
3.6  深入观察：模糊逻辑  105
3.6.1  模糊命题  105
3.6.2  模糊联结词  105
3.6.3  模糊决策  107
练习3.6  108
本章复习题  110
本章测试  111
第4章  图论（网络）  112
4.1  图、谜题和地图着色  112
4.1.1  图的术语  112
4.1.2  一笔画  113
4.1.3  欧拉定理  114
4.1.4  弗罗莱算法  117
4.1.5  图的欧拉化  118
4.1.6  地图着色  119
练习4.1  122
4.2  旅行推销员问题  126
4.2.1  哈密顿路径  127
4.2.2  查找哈密顿回路  127
4.2.3  暴力破解算法  130
4.2.4  最近邻算法  131
4.2.5  最佳边算法  133
练习4.2  134
4.3  有向图  137
4.3.1  有向图  137
4.3.2  影响力建模  138
4.3.3  疾病建模  140
练习4.3  141
4.4  深入观察：PERT图及其应用  144
4.4.1  PERT图  144
4.4.2  高效日程安排  146
练习4.4  149
本章复习题  151
本章测试  153
第5章  数系  154
5.1  数系的演变  154
5.1.1  埃及数系  154
5.1.2  罗马数系  157
5.1.3  中国数系  159
练习5.1  160
5.2  位值数系  162
5.2.1  巴比伦数系  163
5.2.2  玛雅数系  164
5.2.3  印度－阿拉伯数系  166
5.2.4  排桨帆船法和奈皮尔乘除器  167
练习5.2  169
5.3  其他进位基数  171
5.3.1  非十进制  171
5.3.2  非十进制算术运算  174
5.3.3  二进制、八进制和十六进制  178
练习5.3  179
5.4  深入观察：模数系  181
5.4.1  模m数系  181
5.4.2  模m数系运算  183
5.4.3  解同余  184
练习5.4  186
本章复习题  188
本章测试  188
第6章  数论和实数系  190
6.1  数论  190
6.1.1  素数  190
6.1.2  整除性检验方法和因数分解  192
6.1.3  最大公约数和最小公倍数  194
6.1.4  最大公约数和最小公倍数的
应用  197
练习6.1  198
6.2  整数  200
6.2.1  整数的加减  201
6.2.2  整数的乘除  202
练习6.2  204
6.3  有理数  206
6.3.1  有理数相等  206
6.3.2  有理数的加减  208
6.3.3  有理数的乘除  209
6.3.4  带分数  211
6.3.5  循环小数  212
练习6.3  214
6.4  实数系  216
6.4.1  无理数  217
6.4.2  根式计算  219
6.4.3  实数的应用  219
6.4.4  实数的性质  221
练习6.4  223
6.5  指数和科学记数法  226
6.5.1  指数  226
6.5.2  科学记数法  228
6.5.3  科学记数法的应用  230
练习6.5  231
6.6  深入观察：数列  233
6.6.1  等差数列  234
6.6.2  等比数列  236
6.6.3  斐波那契数列  238
练习6.6  240
本章复习题  242
本章测试  242
第7章  代数模型  244
7.1  线性方程  244
7.1.1  解线性方程  244
7.1.2  截点  246
7.1.3  直线的斜截式  249
练习7.1  250
7.2  线性方程建模  253
7.2.1  一个点和斜率建模  254
7.2.2  两点建模  255
7.2.3  最佳拟合直线  256
练习7.2  258
7.3  二次方程建模  260
7.3.1  二次公式  261
7.3.2  二次方程作图  262
7.3.3  二次方程建模  263
练习7.3  265
7.4  指数方程和增长  267
7.4.1  指数增长  267
7.4.2  指数模型  270
7.4.3  逻辑斯蒂模型  273
练习7.4  275
7.5  比例和变分  277
7.5.1  比和比例  278
7.5.2  捕获－再捕获法  279
7.5.3  变分  279
练习7.5  282
7.6  线性方程组和不等式组建模  285
7.6.1  线性方程组  285
7.6.2  消元法解方程组  286
7.6.3  方程组建模  289
7.6.4  解线性不等式  291
7.6.5  解不等式组  293
7.6.6  不等式组建模  294
练习7.6  295
7.7  深入研究：动力系统  299
7.7.1  动力系统  299
7.7.2  平衡值和稳定性  301
练习7.7  303
本章复习题  304
本章测试  306
第8章  消费者数学  308
8.1  百分数、税收和通货膨胀  308
8.1.1  百分数  308
8.1.2  变化百分比  309
8.1.3  百分比等式  310
8.1.4  税收  312
8.1.5  通货膨胀  313
练习8.1  314
8.2  利息  316
8.2.1  单利  317
8.2.2  复利  318
8.2.3  求复利公式中的未知数  319
练习8.2  323
8.3  消费贷款  325
8.3.1  附加利息法  326
8.3.2  未付余额法  327
8.3.3  日均余额法  328
8.3.4  利息费用计算方法之比较  330
练习8.3  330
8.4  年金  333
8.4.1  计算年金  333
8.4.2  累积基金  336
练习8.4  338
8.5  分期偿还贷款  340
8.5.1  分期偿还  340
8.5.2  分期偿还计划  342
8.5.3  计算年金的现值  343
8.5.4  为贷款再融资  344
练习8.5  346
8.6  深入观察：年百分率  348
8.6.1  计算年百分率  348
8.6.2  估算年百分率  351
练习8.6  352
本章复习题  353
本章测试  354
第9章  几何  356
9.1  线、角和圆  356
9.1.1  点、线和面  356
9.1.2  角  357
9.1.3  圆  360
练习9.1  362
9.2  多边形  365
9.2.1  多边形  365
9.2.2  多边形和角  367
9.2.3  相似多边形  369
练习9.2  371
9.3  周长和面积  375
9.3.1  周长和面积  375
9.3.2  衍生面积公式  375
9.3.3  毕达哥拉斯定理  378
9.3.4  圆  379
练习9.3  382
9.4  体积和表面积  387
9.4.1  体积  387
9.4.2  圆柱  388
9.4.3  圆锥和球体  391
练习9.4  392
9.5  公制和量纲分析  395
9.5.1  公制  395
9.5.2  公制单位  396
9.5.3  公制计量之间的关系  396
9.5.4  公制换算  396
9.5.5  量纲分析  398
练习9.5  402
9.6  对称性和密铺  405
9.6.1  刚体运动  405
9.6.2  对称性  409
9.6.3  密铺  410
练习9.6  413
9.7  深入观察：分形  416
9.7.1  分形  417
9.7.2  长度和面积  419
9.7.3  维数  420
9.7.4  分形的应用  423
练习9.7  423
本章复习题  424
本章测试  426
第10章  分配  428
10.1  理解分配  428
10.1.1  汉弥尔顿分配法  429
10.1.2  衡量公平性  430
练习10.1  433
10.2  亨廷顿－希尔分配原则  435
10.2.1  分配准则  435
10.2.2  亨廷顿－希尔法  436
10.2.3  分配风电场联合体董事会
成员  437
10.2.4  其他应用  438
10.2.5  亨廷顿－希尔原则的推导  439
练习10.2  440
10.3  其他悖论和分配法  442
10.3.1  标准除数和标准配额  443
10.3.2  更多分配悖论  445
10.3.3  其他分配法  447
练习10.3  450
10.4  深入观察：公平分配  453
10.4.1  公平分配  453
10.4.2  密封投标法  454
练习10.4  457
本章复习题  460
本章测试  461
第11章  投   票  462
11.1  投票方法  462
11.1.1  相对多数法  462
11.1.2  波达计数法  463
11.1.3  末位淘汰法  465
11.1.4  成对比较法  466
练习11.1  468
11.2  投票方法的缺陷  471
11.2.1  绝对多数准则  471
11.2.2  孔多塞准则  472
11.2.3  无关因素独立性准则  473
11.2.4  单调性准则  475
练习11.2  477
11.3  加权投票系统  479
11.3.1  加权投票系统  480
11.3.2  联盟  481
11.3.3  班扎夫权力指数  482
练习11.3  485
11.4  深入观察：夏普利?舒比克指数  487
11.4.1  排列  487
11.4.2  核心投票者  488
11.4.3  夏普利?舒比克指数  489
练习11.4  491
本章复习题  493
本章测试  494
第12章  计数  496
12.1  计数方法简介  496
12.1.1  系统化计数  496
12.1.2  树图  497
12.1.3  树图可视化  500
练习12.1  501
12.2  基本计数原理  504
12.2.1  基本计数原理  504
12.2.2  槽位图  505
12.2.3  特殊条件处理  506
练习12.2  507
12.3  排列组合  510
12.3.1  排列  510
12.3.2  阶乘表示法  512
12.3.3  组合  513
12.3.4  计数方法组合  515
练习12.3  518
12.4  深入观察：计数和赌博  521
12.4.1  基本计数原理在赌博中的
应用  521
12.4.2  计数和扑克牌  522
练习12.4  524
本章复习题  525
本章测试  525
第13章  概率  527
13.1  概率论基础  527
13.1.1  样本空间和事件  527
13.1.2  计数和概率  530
13.1.3  几率  533
13.1.4  概率和遗传学  534
练习13.1  536
13.2  事件的补集和并集  540
13.2.1  事件的补集  540
13.2.2  事件的并集  541
13.2.3  补集公式和并集公式的
组合  543
练习13.2  544
13.3  条件概率和事件的交集  547
13.3.1  条件概率  547
13.3.2  事件的交集  550
13.3.3  概率树  552
13.3.4  相依事件和独立事件  554
练习13.3  555
13.4  期望值  558
13.4.1  期望值  559
13.4.2  碰运气游戏的期望值  560
13.4.3  期望值的其他应用  562
练习13.4  563
13.5  深入观察：二项试验  566
13.5.1  二项概率  566
13.5.2  二项概率的应用  568
练习13.5  570
本章复习题  571
本章测试  572
第14章  描述性统计  574
14.1  数据的组织和可视化  574
14.1.1  总体和样本  574
14.1.2  频数表  575
14.1.3  数据可视化表达  577
14.1.4  茎叶图  580
练习14.1  581
14.2  集中趋势的测度  585
14.2.1  平均数和中位数  585
14.2.2  五数概括  589
14.2.3  集中趋势的测度对比  591
练习14.2  592
14.3  离散趋势的测度  596
14.3.1  数据集的极差  597
14.3.2  标准差  597
14.3.3  离散系数  600
练习14.3  602
14.4  正态分布  605
14.4.1  正态分布  605
14.4.2  z值  607
14.4.3  原始值转换为z值  610
14.4.4  应用  612
练习14.4  614
14.5  深入观察：线性相关  617
14.5.1  散点图  617
14.5.2  线性相关  617
14.5.3  最佳拟合线  620
练习14.5  621
本章复习题  622
本章测试  623

序   言
由于内容生动有趣、贴合生活实际、强调解题过程且文笔清晰流畅，本书的各个版本均得到了教师和学生的好评，是当今最受文科学生欢迎的数学教材之一。
当代学生置身于变化万千的世界中，各种信息（正确与错误相混杂）扑面而来，因此要学会判断信息是否正确，因为这关系到自己能否与周边的各种数字信息和谐共存。通过运用高度融合的大量策略和原则，本书旨在为广大读者提供一种解题方法，致力于传达“若要真正学好数学，理解比记忆更重要”的理念。
本书重点强调直觉思维和可视化，帮助学生充分理解相关知识，进而强化记忆。全书通过清晰易读的说明文字，辅之以大量图表和注释，提供了易于理解和掌握的许多有趣主题。
0.1  各章主要内容
本书延续了以往版本的优良传统，即通过相关主题、清晰解读、有用图表和常见注释等方式，强化了例题与练习的知识性、趣味性和可读性。
?	第1章通过相关示例，探讨了投资活动的风险、“估计”对理解时事的重要性、血型鉴定、运用演绎推理求解聪明方格游戏、图形失真如何影响有效研究结果等内容。
?	第2章强调了集合论在维护政府及企业数据库方面的作用，通过大量实例和练习说明了“集合”的概念，使用树图显示了如何直观地表示集合的子集。
?	第3章提供了一些非常有实用价值的练习，如求职者在面试中容易犯的错误、经典谜题中的哈利波特变化形式等。
?	第4章利用图论建立课程计划，解释了埃博拉病毒是如何在西非传播的，并通过一些有趣的示例和练习介绍了社交媒体，调查了蜜蜂表现出来的群体智能，规划了太空移民基地建设。
?	第5章解释了如何使用十六进制数来表示智能手机上的颜色，并通过一些示例和练习研究了模算术与通用产品代码之间的关系。
?	第6章对大量示例和练习中的真实数据进行了处理和更新，探索了寻找热尔曼素数和梅森素数等大素数问题，利用图表有效地说明了如何近似计算无理数，并且讨论了消费者物价指数、通货膨胀和房价指数。
?	第7章讨论了如何提高流媒体的服务性能，对比了互联网广告与电视广告的费用等。
?	第8章介绍了金融计算，相关主题包括学生债的设立启示、当前国防开支与往年的比较、通货膨胀与红牛能量饮料的价格、学生贷款再融资以及信用卡账单上的最低还款额产生的后果。
?	第9章讨论了七巧板和十六进制符号，展示了几何学是如何解决“格里蝾螈”问题的，确定了最有效的容器形状，介绍了如何利用在线计算器进行验证计算等。
?	第10章解释了分配中的“相对不公平度”概念，讨论了各种分配方法及其缺陷。
?	第11章彻底剖析了各种投票方法及其缺陷，并且深入探讨了两种相对较新的投票方法。
?	第12章介绍了多种概率，如利用在线应用设计衣柜、在经营摊位订购玉米煎饼的若干方式。
?	第13章讨论了掷骰子游戏，对比了因灾难性事件而死亡的概率和强力球彩票中头奖的概率。
?	第14章进一步讨论了各种数据类型以及选择适当统计工具的重要性，且更新了大量图表。
0.2  本书的特色
本书的写作风格是“简单易用”，旨在帮助学生更轻松地学习数学知识。首先以对话方式提出问题，然后用简单清晰的各种例题加以说明。在大量视觉手段的帮助下，学生可“看见”正在学习的数学知识。
本书设计了大量相关应用，不仅可激发各类数学讨论场景，而且可增强学生对所学内容的兴趣。每章都包含一个或多个“生活中的数学”框，以将数学与学生的日常学习和生活场景密切联系在一起，使得数学学习变得更简单和更有趣味性。每节均包含若干“自测题”，学生可用其检查自己对所学内容的理解。“历史回顾”讨论了当前主题的历史。
0.3  如何才能学好数学
为了帮助学生更好地学习数学，下面推荐一些可在课前、课中和课后做的事情。
?	课前预习。若能在课堂讨论之前阅读相关材料，学生就能从数学课上获得更多的知识，持之以恒则效果最佳。提前阅读可令授课内容更易于理解。
?	精细阅读。阅读教材时需要记住，数学与其他学科（如历史学、社会学或音乐学）的差异较大。由于数学语言非常精炼，几个符号（或词汇）通常就包含大量信息，因此仔细琢磨所用定义和符号的确切含义有助于学生提高自己对数学知识精髓的理解。
?	总览全貌。数学不仅仅是一系列需要记忆的事实和公式，这一点再怎么强调也不为过。对知识全貌理解得越透彻，对数学的整体理解就越好。
?	强化记忆。虽然记住测试的基本内容比较重要，但是未建立在理解基础上的记忆并不扎实。书中用到了大量图表、类比和例题，可以帮助学生理解数学的专用词汇、方程和解题方法。
?	巧做作业。做练习时，要从标有“强化技能”的练习开始，因此这些练习严格按照各节中主题的顺序排列，可以增强学生对总体学习内容的理解。
?	找个学伴。在测试和考试之前，若能与班中的其他同学一起学习，无疑有助于提升学习效果。实践证明，建立学习小组后，许多学生的成绩得到了明显提升。
0.4  致谢
在培生公司众多员工的支持下，我们终于完成了本书第7版的撰写，这是一次非常愉快的合作。感谢内容经理Brian Fisher对整个项目的管理与推进，感谢Jonathan Krebs对大量细节事项的处理，感谢Rachel Reeve和项目执行经理Heidi Aguiar对教材制作的监督，感谢Bob Carroll对练习及相关内容的管理，感谢Alicia Wilson对本书的宣传，感谢Noelle Saligumba、Vicki Dreyfus和Nicholas Sweeny制作了大量精美的补充资料。感谢Alicia Gordon、Nathan Kidwell、Patricia Nelson和Christine Verity在保证书籍规范方面付出的大量努力。
托马斯感谢妻子Ann及孩子Matt、Tony、Joanna和Mike，感谢他们给予的巨大鼓励和支持。马格里特感谢丈夫Tim及孩子Kevin、Christina、John和Julie，感谢他们给予的一如既往的支持。
最后，感谢以往版本的评议者和用户帮助我们持续全面地完善书籍，对于大家提出的许多建议，我们总是非常认真地听取和采纳。

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基础数学与生活（第7版）