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近年来，工业化和城市化的加速发展致使资源消耗多、污染物排放量大，环境污染问题愈发严重，对人类的健康以及各种生物种群的生长都产生了非常大的影响。因此，研究环境污染对种群乃至生态系统的影响十分重要。本书主要建立污染环境中具有年龄结构的非线性种群系统、污染环境中具有年龄结构的带扩散的种群系统、污染环境中具有年龄结构的竞争种群系统，首先利用特征线法及不动点定理确定系统的解，证明系统解的存在唯一性，然后结合最大化序列、Mazur 定理以及相对紧性证明最优控制的存在性，最后通过切锥和法锥性质得到最优控制的必要条件。本书可以作为生物数学、运筹学与控制论、种群动力学等专业硕士生和博士生的参考书，也可供从事生物数学及最优控制等方面研究的理工科教师及科研人员参考。

第1 章绪论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 研究背景及意义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 国内外研究现状. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 研究内容. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
第2 章预备知识. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
2.1 基本定义及引理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 重要不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 相关符号说明. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
第3 章污染环境中具有年龄结构的非线性种群系统的最优控制. . . . . . . . . . . 16
3.1 污染环境中具有加权的非线性种群系统的最优控制. . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.1 模型及其适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.2 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
3.1.3 最优控制的必要条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.4 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 污染环境中具有时滞的个体尺度种群系统的最优控制. . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1 基本模型及其适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
3.2.3 最优控制的必要条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.4 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 污染环境中具有尺度结构的周期种群系统的最优控制. . . . . . . . . . . . . 47
3.3.1 基本模型及其适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
3.3.3 最优控制的必要条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.4 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 污染环境中具有尺度结构的非线性害鼠模型的最优不育控制. . . . . . . 61
3.4.1 基本模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
3.4.2 状态系统的适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
3.4.3 最优不育策略的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4.4 数值模拟. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74
3.4.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
第4 章污染环境中具有年龄结构的带扩散的种群系统的最优控制. . . . . . . . . 76
4.1 具有年龄结构的非线性种群扩散系统的最优收获控制. . . . . . . . . . . . . 76
4.1.1 系统广义解的存在唯一性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.2 最优收获控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.3 必要条件与最优性组. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.4 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2 具有加权总规模的非线性种群扩散系统的最优控制. . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.1 系统的适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2.2 最优性条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.3 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 污染环境中具有年龄结构的非线性种群扩散系统的最优控制. . . . . .101
4.3.1 系统及其适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3.2 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3.3 最优控制的必要条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3.4 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4 污染环境中具有个体尺度的非线性随机种群
扩散系统的最优控制. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4.1 系统及其适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4.2 系统解的唯一性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4.3 强解的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.4.4 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.5 最优控制的必要条件与最优性组. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.4.6 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.5 污染环境中具有个体尺度、带Possion 跳的非线性随机
种群扩散系统的最优控制. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
4.5.1 建立系统. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
4.5.2 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.5.3 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
第5 章污染环境中具有年龄结构的竞争种群系统的最优控制. . . . . . . . . . . . 146
5.1 污染环境中具有年龄结构的非线性竞争种群系统的最优控制. . . . . .146
5.1.1 系统及其适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.1.2 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.1.3 最优控制的必要条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.1.4 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2 污染环境中具有年龄等级结构的竞争种群系统的最优控制. . . . . . . . 163
5.2.1 基本模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
5.2.2 系统的适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.2.3 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.2.4 最优控制的必要条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.2.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3 污染环境中与尺度结构相关的竞争种群系统的最优控制. . . . . . . . . . 177
5.3.1 基本模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177
5.3.2 系统的适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.3.3 最优控制的必要条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.3.4 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.3.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.4 污染环境中具有扩散和尺度结构的竞争种群系统的最优控制. . . . . .191
5.4.1 基本模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191
5.4.2 系统的适定性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.4.3 最优控制的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.4.4 最优控制的必要条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.4.5 小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
第6 章总结与展望. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.1 主要工作总结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.2 不足与展望. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

人类对种群动力学的研究最早可以追溯到16 世纪，经过数个世纪的发展和研究，科学家对种群动力学的研究从最原始的单种群简单增长模型扩展到多种群非线性模型. 考虑环境的污染程度对种群的影响，更是近几年来种群动力学的研究热点. 为了系统研究污染环境中不同种群系统的特点，分析其动力学行为，作者对以往的工作进行筛选、总结，讨论了几类污染环境中种群系统的最优控制，希望能对学习和从事种群动力学研究的读者提供帮助.
本书研究污染环境对生物种群以及生态系统的影响，不仅可以为生态环境保护政策的制定提供科学的理论依据，而且可以为相关部门保护生物种群提供理论参考. 此外，随着生物数学学科的快速发展，国内开展生物数学研究的科技人员日益增多，研究队伍趋向成熟、稳定. 本书可以作为生物数学、运筹学与控制论、种群动力学等专业硕士生和博士生的参考书，也可供从事生物数学及最优控制等方面研究的理工科教师及科研人员参考.
本书主要运用微分方程、积分方程、偏微分方程、控制论等相关理论知识建立数学模型，对污染环境中的生物种群系统进行研究，借助数学模型的思想方法将复杂的生物种群问题转化为数学问题来研究生物种群的发展动态，描述种群个体的生长过程，预测其演化趋势，帮助人们对其进行有效的控制，使其向着期望的理想状态发展. 本书基于环境污染的背景分别提出具有年龄结构的非线性种群系统、具有年龄结构的带扩散的种群系统、具有年龄结构的竞争种群系统，主要证明了种群系统解的存在唯一性以及最优控制的存在性，从而得到最优控制的必要条件.
全书共6 章，第1 章论述生物种群研究的意义及成果；第2 章为常用的理论知识及相关符号说明；第3 章研究污染环境中具有年龄结构的非线性种群系统的最优控制；第4 章讨论污染环境中具有年龄结构的带扩散的种群系统的最优控制；第5 章研究污染环境中具有年龄结构的竞争种群系统的最优控制；第6 章对全书所做的工作进行总结和展望. 在写作上，本书力求浅显易懂，在讲解内容的同时注重阐述其生态意义，揭示数学思想.
本书的出版得到了宁夏高等学校一流学科建设(水利学科) 项目(NXYLXK2021A03) 的资助，在此表示感谢.
由于作者水平有限，加之时间仓促，书中疏漏甚至错误之处在所难免，恳请读者批评指正.

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污染环境中生物种群系统的建模与研究