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本书是“工业和信息化部‘十二五’规划教材”。本书针对理工科学生的特点和人才培养的需要编写，体现内容的完备性、易懂性、应用性、实践性、文化性和前沿性。全书共6章，主要内容包括：曲线与曲面论，张量代数和外形式，微分流形，切向量场、单参数变换群与切丛，张量场、黎曼流形与列维-齐维塔联络，流形上的积分、微分算子和德拉姆上同调。本书提供配套电子课件、MATLAB程序代码等。

目    录
第1章  曲线与曲面论	1
1.1  度量空间与欧氏空间	2
1.1.1  度量空间	2
1.1.2  向量空间	4
1.1.3  仿射空间	6
1.1.4  欧氏空间	6
1.1.5  等距变换	7
1.2  三维欧氏空间中的向量代数和向量分析	7
1.2.1  三维欧氏空间中的向量及其运算	8
1.2.2  向量函数和向量分析	8
附录1.2  笛卡儿生平及学术贡献	10
1.3  曲线论概述	12
1.3.1  曲线的表示	12
1.3.2  空间曲线的基本三棱形	14
1.3.3  曲线的曲率、挠率和费雷内公式	16
附录1.3  欧拉生平及学术贡献	19
1.4  曲面论概述	21
1.4.1  曲面的表示	21
1.4.2  曲面的定向	24
1.4.3  曲面的第一基本形式	26
1.4.4  曲面的第二基本形式	28
1.4.5  曲面的曲率	30
附录1.4  高斯生平及学术贡献	34
1.5  基于MATLAB的几何图形绘制和数值计算	36
1.5.1  MATLAB用户环境介绍	36
1.5.2  基于MATLAB的平面曲线绘制	37
1.5.3  基于MATLAB的空间曲线绘制	38
1.5.4  基于MATLAB的曲面绘制	39
1.5.5  基于MATLAB的微分几何数值计算	44
习题1	45
第2章  张量代数和外形式	46
2.1  对偶空间与多重线性函数	46
2.1.1  对偶空间	46
2.1.2  多重线性函数	48
2.2  张量与张量代数	49
2.2.1  张量及其表示	49
2.2.2  张量积和张量代数	50
2.2.3  张量的缩并运算	53
2.2.4  度量张量、指标的提升和下降	54
2.3  对称张量和反对称张量	55
2.3.1  对称与反对称张量	55
2.3.2  对称化与反对称化算子	57
2.4  外形式与外代数	59
2.4.1  外形式	59
2.4.2  外积	60
2.4.3  外形式空间和外代数	62
2.4.4  外形式的性质	63
附录2.4  嘉当生平及学术贡献	65
习题2	67
第3章  微分流形	68
3.1  拓扑学基本概念	69
3.1.1  拓扑空间	69
3.1.2  拓扑空间的子集	70
3.1.3  拓扑空间的映射	71
3.1.4  拓扑不变性	72
3.2  微分流形	74
3.2.1  拓扑流形	74
3.2.2  微分流形	75
3.2.3  微分流形的例子	76
附录3.2  黎曼生平及学术贡献	79
3.3  光滑映射和微分同胚	81
3.3.1  流形间的光滑映射	81
3.3.2  微分同胚	82
附录3.3  惠特尼生平及学术贡献	84
3.4  切向量与余切向量	85
3.4.1  切向量与切空间	85
3.4.2  余切向量和余切空间	89
3.4.3  诱导切映射和诱导余切映射	90
3.5  子流形和带边流形	92
3.5.1  浸入与嵌入	92
3.5.2  开子流形和闭子流形	95
3.5.3  嵌入定理	96
3.5.4  带边流形和闭流形	97
附录3.5  纳什生平及学术贡献	97
习题3	99
第4章  切向量场、单参数变换群与切丛	102
4.1  切向量场和泊松括号积	102
4.1.1  切向量场	103
4.1.2  李代数与泊松括号积	104
4.1.3  微分流形上的对合分布	107
4.1.4  诱导切映射与泊松括号积运算的可交换性	109
4.2  单参数变换群和李导数	109
4.2.1  单参数变换群	110
4.2.2  单参数变换群的诱导光滑切向量场	110
4.2.3  李导数	112
4.3  向量丛和切丛	113
4.3.1  向量丛	113
4.3.2  切丛和余切丛	115
附录4.3  陈省身生平及学术贡献	118
习题4	121
第5章  张量场、黎曼流形与列维-齐维塔联络	122
5.1  光滑张量场	123
5.1.1  光滑张量场	123
5.1.2  张量场的李导数	125
5.2  单位分解定理、黎曼流形和伪黎曼流形	126
5.2.1  单位分解定理	126
5.2.2  黎曼流形	126
5.2.3  伪黎曼流形	128
附录5.2  爱因斯坦、广义相对论与黎曼几何	130
5.3  外微分式及外微分	132
5.3.1  外微分式	132
5.3.2  外微分	133
5.3.3  流形间光滑映射的诱导映射	138
5.4  仿射联络和列维-齐维塔联络	141
5.4.1  仿射联络和仿射联络空间	141
5.4.2  挠率张量和挠率形式	143
5.4.3  列维-齐维塔联络	145
5.4.4  协变微分	147
附录5.4  列维-齐维塔生平及学术贡献	150
5.5  黎曼曲率和结构方程	151
5.5.1  平行移动和测地线	151
5.5.2  仿射联络的曲率张量和曲率形式	152
5.5.3  黎曼曲率张量、截曲率和常曲率空间	154
5.5.4  黎曼流形的结构方程	157
5.5.5  里奇曲率和数量曲率	159
5.5.6  爱因斯坦流形和卡拉比-丘流形	160
习题5	161
第6章  流形上的积分、微分算子和德拉姆上同调	164
6.1  流形的定向、流形上的积分和斯托克斯定理	165
6.1.1  流形的定向	165
6.1.2  光滑流形上的积分	167
6.1.3  黎曼流形上的积分	169
6.1.4  斯托克斯定理	170
6.2  黎曼流形上的微分算子	174
6.2.1  霍奇星算子	175
6.2.2  散度算子和梯度算子	176
6.2.3  余微分算子	179
6.3  霍奇-德拉姆算子、拉普拉斯-贝尔特拉米算子及其特征值	182
6.3.1  霍奇-德拉姆算子和拉普拉斯-贝尔特拉米算子	183
6.3.2  拉普拉斯算子的特征值	187
附录6.3  贝尔特拉米生平及学术贡献	190
6.4  德拉姆上同调和霍奇分解定理	192
6.4.1  德拉姆上同调	192
6.4.2  霍奇分解定理及其应用	193
6.4.3  庞加莱对偶定理	195
附录6.4  德拉姆生平及学术贡献	197
习题6	199
名词索引	201
人名索引	208
参考文献	213

前    言
“微分几何”在我国研究生数学教育课程体系中占据着重要地位，它承担着向研究生普及现代数学知识、培养学生数学思维和创新能力的重要功能。随着我国建设创新型国家步伐的加快，创新型人才培养的客观需要、学生知识背景和需求的变化都对研究生微分几何课程的教学提出了新的要求。在主持江苏省高等教育学会“十二五”高等教育科学研究规划课题、江苏省研究生教育教学改革研究与实践课题、南京理工大学研究生课程教学模式改革项目、南京理工大学高等教育教学改革研究课题的过程中，第一作者对“现代微分几何”课程的教学内容和教学方法做了一系列的改革尝试。本书是作者在多年讲授的“现代微分几何”课程的教案基础上，结合相关教学改革实践编写而成的。“工业和信息化部‘十二五’规划教材”项目为本书的出版提供了契机。本书可供理工科高等学校的数学、物理、计算机设计、图形处理等专业的研究生和高年级本科生作为学习现代微分几何、微分流形的课程教材使用，也可供数学工作者参考使用。
针对理工科学生的特点和人才培养的需要，本书注意体现内容的完备性、易懂性、应用性、实践性、文化性和前沿性。
首先，为了增强教材内容的完备性、提高教材的适用性，本书整合了曲线论、曲面论的主干内容和拓扑学的基本概念。本书内容可以分为古典微分几何和现代微分几何两部分：第一部分也就是本书的第1章，着重介绍古典微分几何的曲线和曲面主干理论，还包括公理化方法建立的欧氏空间的概念、向量代数和向量分析内容。第二部分是本书的第2～6章，介绍的是现代微分几何的基本概念、思想和方法，主要内容包括张量、外形式、微分流形、子流形、切向量场、单参数变换群、切丛、张量场、黎曼流形、协变微分、外微分式、流形上的积分、斯托克斯定理、流形上的微分算子、拉普拉斯算子的特征值、德拉姆上同调和霍奇分解定理等。我们希望通过这样的内容安排，能让具有微积分知识基础的读者能自然地由古典微分几何进入现代微分几何。考虑到近年来许多理工科数学专业的研究生并没有古典微分几何的知识基础，以及服务于高年级本科生选修的需要，这样的安排还是有所裨益的。事实上，古典微分几何的曲线和曲面是现代微分几何中流形的低维例子，其概念和性质是研究和理解流形有关概念和性质不可或缺的基础。纵观全书，我们也希望通过这样的安排，可以为读者呈现几何学从欧氏几何、空间解析几何、古典微分几何直到现代微分几何的历史发展脉络和理论体系。
其次，为了加强教材内容的实践性，本书在第1章中安排了基于MATLAB的几何图形绘制的内容。这既是为了发挥数学软件在绘制几何图形方面的优势，帮助我们更好地理解曲线、曲面和流形等微分几何研究对象的概念和性质，也是为了顺应数学软件普及和使用增加的趋势，提高理工科学生使用数学软件的能力。
第三，为了突出教材内容的思想性、文化性和趣味性，本书将数学文化的有关内容有机地融入到教材中。创新型人才培养的一个重要任务是要寻找合适的工具来给予学生的创新人格成长以正面的引导。而数学家是数学发展的引导者和实施者，数学理论中包含了由他们的创新精神和意志凝结而成的精神财富。我们以附录的形式着重介绍了笛卡儿（R. Descartes，1596—1650年）、欧拉（L. Euler，1707—1783 年）、高斯（C. F. Gauss，1777—1855年）、嘉当（＆Eacute;lie J. Cartan，1869—1951年）、黎曼（G. F. B. Riemann，1826—1866年)、惠特尼（H. Whitney，1907—1989年）、纳什（John Nash，1928年—）、陈省身（S. S. Chern，1991—2004年）、爱因斯坦（A. Einstein，1879—1955年）、列维-齐维塔（T. Levi-Civita，1873—1941年）、贝尔特拉米（E. Beltrami，1835—1899年）、德拉姆（G. de Rham，1903—1990年）的生平及学术贡献。他们与本书相关章节内容的历史发展背景紧密相关。同时，他们的生平和学术研究故事亦能带给读者很多启迪。例如，黎曼：40岁时即英年早逝，但在数学的多个领域中做出了开创性的贡献，被后人誉为最具创新精神的数学家之一；纳什：30岁前在博弈论和流形嵌入定理方面做出重要工作，而后罹患精神分裂症，30多年后神奇地康复了，并在晚年获得诺贝尔经济学奖；高斯、罗巴切夫斯基（N. I. Lobachevsky，1792—1856年）、鲍耶（J. Bolyai，1802—1860年）：“春天一到，紫罗兰竞相开放”，他们都是非欧几何的发现者，但对待自己研究结果和数学研究的态度和方式却截然不同。除了附录，本书在导论、各章引言和正文等处也穿插介绍了微分几何理论历史发展情况、数学家的学术贡献等内容。本书共提及130余位数学家，他们是几何、微分几何相关理论发展和一些重要公开问题研究的关键人物。我们希望读者能从这些数学家的生平和学术研究故事中感受数学家在数学理论的发现和创立过程中所展现出的创新精神和人格魅力；能了解微分几何理论知识背后的历史发展情况，并发现后续学习和研究的线索。希望这样的安排能对提高理工科研究生的数学修养、增加其学习兴趣和培养其创新能力有所帮助。
第四，为了体现教材内容的应用性、前沿性和学科交叉性，本书介绍了微分几何研究领域中一些有代表性的研究结果和公开问题的研究进展情况，展示了微分几何在其他数学分支和学科中的应用。另外，本书对流形的微分结构给出了一些新颖的解释。对重要的专业词汇，本书给出相应的英文翻译。
希望这些编写安排和尝试能对提高理工科微分几何课程的教学质量起到抛砖引玉的效果。
教学中，可以根据教学对象和学时等具体情况对书中的内容进行删减和组合。为适应教学模式、教学方法和手段的改革，本书提供配套电子课件、MATLAB程序代码等，请登录华信教育资源网（http://www.hxedu.com.cn）注册下载。
本书由孙和军、赵培标编著，孙和军负责全书内容的编写，赵培标负责校核。在本书的写作过程中，第一作者得到了国家自然科学基金项目（批准号：11001130）、江苏省和南京理工大学相关教改项目的支持和资助，作者在此表示衷心的感谢。感谢“工业和信息化部‘十二五’规划教材”项目和评审专家对本教材的肯定。感谢我的妻子王海侠博士，她为书稿的整理、打印和相关插图的制作做了大量工作。回望学术研究之路，感谢我的导师杨洪苍研究员、吴报强教授的引领。回望教学之路，感谢杨孝平教授和南京理工大学各位同事的支持和帮助。感谢电子工业出版社王晓庆编辑的细致和敬业。
欢迎专家学者和读者对本书提出指正和建议，这对本书的后续修订和完善都是宝贵的财富。

孙和军
2015年7月于南京理工大学

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