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本书系统介绍了随机抛物型、双曲型和椭圆型方程的有限元分析方法，全书共6 章。第1 章是预备知识，包括Banach 空间和Hilbert 空间中的几类有界线性算子、Sobolev 空间基本理论、算子半群、有限元方法的基础理论，以及无穷维随机积分的基本概念和性质；第2 章介绍随机抛物型方程的有限元分析方法，其中包括确定性抛物方程有限元方法理论分析、自伴算和非自伴算子随机抛物方程的有限元分析方法；第3 章对经典的随机Navier-Stokes 方程进行有限元分析和后验误差估计，重点介绍了后验误差估计方法；第4 章以分别带有Q-Wiener 过程噪声项和带有Brownian 片噪声项的两类随机弹性方程为例，介绍双曲型随机偏微分方程的有限元理论分析方法；第5 章以随机Poisson 方程和随机Stokes 方程为例，介绍椭圆型随机偏微分方程的有限元理论分析方法；第6 章介绍随机积分微分方程有限元理论分析方法。

第 1 章 基础知识 ················ 1
1.1 Banach空间和Hilbert空间上的有界线性算子 · · 1
1.1.1 度量空间 ················· 1
1.1.2 线性算子与线性泛函 ··                  · 4
1.1.3 核算子与Hilbert-Schmit算子 ··  ····· 7
1.2 Sobolev空间 ················ 10
1.2.1 广义导数与Sobolev空间 ·········· 11
1.2.2 Sobolev空间嵌入定理 ··········· 14
1.2.3 迹定理 ················· 15
1.2.4 Sobolev空间中的等价模定理 ···· ··· 17
1.2.5 Sobolev空间中的内插理论 ········ 18
1.2.6 Gronwall引理 ·············· 19
1.3 算子半群 ················ 21
1.3.1 抽象函数 ··············· 21
1.3.2 算子半群基本概念 ············ 25
1.3.3 C0半群 ················· 26
1.3.4 解析半群与算子的分数次幂 ········ 31
1.3.5 半群的扰动和逼近 ··········· 33
1.4 有限元方法基本理论 ······   ···· 35
1.4.1 变分原理 ················ 35
1.4.2 有限元离散与插值误差估计 ········· 39
1.4.3 发展方程的有限元方法 ··········· 45
1.5 随机积分 ··········    ······ 46
1.5.1 概率空间 ········     ······ 46
1.5.2 随机变量与Bochner积分 ·········· 48
1.5.3 条件期望与独立性 ············ 52
1.5.4 Gaussian测度 ·············· 53
1.5.5 随机过程与鞅 ········   ····· 54
1.5.6 关于＆#119876;-Wiener过程的随机积分 ······· 57
第 2 章 随机抛物方程有限元方法 ········· 63
2.1 抛物方程有限元方法理论分析 ········ 63
2.1.1 空间半离散格式的误差估计 ········ 63
2.1.2 全离散格式的有限元误差估计 ······· 69
2.2 自伴算子随机抛物方程有限元方法 ······ 72
2.2.1 空间半离散格式的误差估计 ········ 72
2.2.2 全离散格式的有限元误差估计 ······· 76
2.3 非自伴算子随机抛物方程有限元方法 ····· 83
2.3.1 空间半离散格式的误差估计 ········ 83
2.3.2 全离散格式的有限元误差估计 ······· 93
2.4 研究进展评述 ················99
第 3 章 随机Navier-Stokes方程的有限元分析与后验误差估计 ···· 103
3.1 方程的理论分析 ············    ········ 103
3.2 有限元误差估计 ······················ 105
3.2.1 时间半离散格式的误差估计 ················ 105
3.2.2 全离散格式的有限元误差估计 ··············· 118
3.3 后验误差估计 ······················· 124
3.3.1 加权Clement-type插值算子 ················ 124
3.3.2 空间半离散格式的后验误差估计 ·············· 127
3.3.3 全离散格式的后验误差估计 ················ 135
3.4 研究进展评述 ······················· 141
第 4 章 随机弹性方程有限元方法 ················ 143
4.1 弹性方程有限元方法理论分析 ················ 143
4.1.1 弹性方程解的定性分析 ·················· 143
4.1.2 基于C1元的弹性方程半离散有限元方法 ····  ·· 146
4.1.3 基于C1元的弹性方程全离散有限元方法 ······· 148
4.1.4 基于C0元的弹性方程半离散有限元方法 ······· 151
4.1.5 基于C0元的弹性方程全离散有限元方法 ······· 154
4.2 带有＆#119876;-Wiener过程噪声项的随机弹性方程有限元方法 ··157
4.2.1 随机弹性方程解的性质 ·············· 157
4.2.2 基于C1元的随机弹性方程半离散有限元方法强误差估计 · 159
4.2.3 基于C1元的随机弹性方程全离散有限元方法强误差估计 · 162
4.2.4 基于C0元的随机弹性方程半离散有限元方法强误差估计    165
4.2.5 基于C0元的随机弹性方程全离散有限元方法强误差估计 · 166
4.2.6 随机弹性方程有限元方法的弱误差估计 ········ 168
4.3 带有Brownian片噪声项的随机波动方程和随机弹性方程有限元方法 173
4.3.1 两类随机双曲方程的统一表示形式 ·············173
4.3.2 方程的正则化 ···················  · 175
4.3.3 正则化方程误差估计 ·················· 176
4.3.4 随机指数积分法 ···················· 180
4.3.5 全离散有限元逼近 ············ 183
4.4 研究进展评述 ··············· 192
第 5 章 随机椭圆型方程有限元方法 ······ 195
5.1 椭圆方程的Green函数 ·········· 195
5.2 随机椭圆方程有限元方法 ········ 198
5.2.1 方程的正则化 ··········· 199
5.2.2 有限元误差估计 ·········· 204
5.3 随机Stokes方程非协调有限元方法 ···· 206
5.3.1 随机Stokes方程Green函数的性质 ··· 206
5.3.2 白噪声的正则化 ··········· 210
5.3.3 非协调有限元逼近 ·········· 213
5.4 研究进展评述 ············· 218
第 6 章 随机积分微分方程有限元方法 ···· 221
6.1 随机积分微分方程的理论分析 ······ 221
6.1.1 问题的陈述 ············· 221
6.1.2 积分微分方程的预解系 ········ 223
6.1.3 随机积分微分方程温和解的存在性和唯一性 ····· 227
6.2 空间半离散格式的误差估计 ············· 230
6.3 全离散格式的有限元误差估计 ············ 235
6.4 研究进展评述 ··················· 242
参考文献 ······················· 243

偏微分方程是反映有关未知变量偏导数之间制约关系的等式，许多领域中的数学
模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是
偏微分方程。经典微分方程在过去几个世纪为人类认识自然规律、改造自然和自然和
谐发展提供了有力的科学工具，如在人口问题、传染病理学和金融学中的应用等。但
是随着科学的发展和对自然现象规律的进一步认识，原有经典微分方程已不能很好解
释自然界中的一些偶发随机现象和小概率事件。
    20 世纪中叶以来兴起的随机微分方程是数学中一个非常活跃的、引人瞩目的领
域，国际上许多著名的数学家投入到这一领域的研究并获得了辉煌的成果。得益于随
机国王中的牛顿定律，即It随机分析思想以及由此发展的随机微分方程理论的帮助，
人们对于自然界无处不在的随机现象有了越来越深刻的理解。由于随机偏微分方程能
够很好的描述自然界中千变万化的各种自然现象，因此被广泛地应用于系统科学、工
程控制、物理学、生物学和金融经济等领域。
    由于随机偏微分方程的复杂性及其解并不是一个函数，而是一个随机过程，因此
要形象地、直观地揭示随机方程所蕴含的信息，就需要求解随机偏微分方程的数值解。
近些年来，随机偏微分方程数值解的问题已经引起了广泛的关注。由于求解各种特定
类型问题的需要，促进了研究者对各种数值方法的探索，其中最有效的数值方法之一
就是有限元方法。近几年来，作者对三类典型随机偏微分方程（抛物型随机方程、双
曲型随机方程和椭圆型随机方程）的有限元分析方法做了系统研究，并且得到了一系
列有意义的成果，本书对这些研究成果做了全面介绍。为了保持完整性和系统性，我
们还对随机微分方程有限元方法领域中其他同行的最新研究成果等方面的资料进行了
收集和整理，在书中进行了介绍，全书共分6 章。
    第1 章介绍随机偏微分方程有限元分析所需要的预备知识，包括Banach 空间和
Hilbert 空间中的几类有界线性算子、Sobolev 空间基本理论、算子半群、有限元方法的
基础理论，以及无穷维随机积分的基本概念和性质；第2 章介绍抛物型随机偏微分方程的有限元分析方法，其中包括确定性抛物方程有限元方法理论分析、自伴算子随机
抛物方程的有限元分析方法和非自伴算子随机抛物方程的有限元分析方法；第3 章对
经典的随机Navier-Stokes 方程进行有限元分析和后验误差估计，并重点介绍了后验误
差估计；第4 章以分别带有Q-Wiener 过程噪声项和带有Brownian 片噪声项的两类随
机弹性方程为例，介绍双曲型随机偏微分方程的有限元理论分析方法；第5 章以随机
Poisson 方程和随机Stokes 方程为例，介绍椭圆型随机偏微分方程的有限元理论分析方
法；第6 章介绍随机积分微分方程有限元理论分析方法。
    希望本书的出版能够帮助对随机偏微分方程有限元方法这一领域感兴趣的读者
基本掌握该领域的基础研究方法、快速了解该领域中的最新研究成果，为较早地进入
国际前沿打好基础，从而促进我国在这一领域的研究上得到更好的发展。
    在本书的编写过程中，中国科学院数学与系统科学研究院研究员严宁宁老师和北
京计算科学研究中心研究员明炬老师曾经提出过许多宝贵意见，对此我们表示衷心的
感谢。感谢国家自然科学基金（61271010）和北京市自然科学基金（4152029）所给予
的支持。感谢电子工业出版社的大力支持和编辑们的辛勤劳动。由于作者水平有限，
书中不妥之处、甚至错误在所难免，恳请专家及读者惠予赐教。
作 者
2015 年4 月于北京

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