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本书是“矩阵论”课程的学习指导书，其目的是帮助读者理解、领悟矩阵论的主要内容；有针对性地解决学习中的困难；较好地完成学习任务。本书从复习概念、定理出发，全面介绍各种解题方法，并通过对460多个问题（包括习题、例题、自测试题及综合测试题）详细地解析，做到了有分析、有解法、有评注、有总结，使读者学会证明重要的或常见的结论，掌握解题技巧和常用运算方法，是读者学好“矩阵论”课程的良师益友。本指导书的体系与电子工业出版社出版的教材《矩阵理论与方法（第二版）》相同。该教材的第一版被评为“北京高等教育精品教材”。本指导书不仅适合使用上述教材的研究生、本科生配套学习，而且对所有学习“矩阵论”的研究生、本科生、工程技术人员以及从事“矩阵论”教学的教师都有很好的学习、参考价值。

目   录

第1章 线性空间与线性变换    
  1.1   内容提要  
  1.2   基本教学要求   
  1.3   概念、结论与相关说明
     1.3.1   线性空间 
     1.3.2   基、维数与坐标 
     1.3.3   基变换与坐标变换  
     1.3.4   线性子空间 
     1.3.5   子空间的交与和  
     1.3.6   子空间的直和与补子空间 
     1.3.7   线性变换 
     1.3.8   线性变换的矩阵表示  
     1.3.9   线性映射的矩阵表示  
     1.3.10   线性变换的值域与核  
     1.3.11   线性变换的不变子空间  
     1.3.12   内积与欧氏空间 
     1.3.13   标准正交基  
     1.3.14   酉空间  
  1.4   解题方法指导   
  1.5   内容结构框图   
  1.6   典型题剖析   
  1.7   答疑解惑 
  1.8   《教材》习题全解  
  1.9   自测试题及解答   
     自测试题一   
     自测试题一解答   
     自测试题二  
     自测题二解答   
第2章 矩阵的相似标准形
  2.1   内容提要   
  2.2   基本教学要求 
  2.3   概念、结论与相关说明   
     2.3.1   相似矩阵
     2.3.2   λ 矩阵及其标准形 
     2.3.3   不变因子和初等因子 
     2.3.4   Jordan标准形  
  2.4   解题方法指导   
  2.5   内容结构框图   
  2.6   典型题剖析   
  2.7   答疑解惑   
  2.8   《教材》习题全解  
  2.9   自测试题及解答   
     自测试题一   
     自测试题一解答   
     自测试题二  
     自测试题二解答   
第3章   矩阵分解  
  3.1   内容提要   
  3.2   基本教学要求   
  3.3   概念、结论与相关说明   
     3.3.1   矩阵的三角分解   
     3.3.2   矩阵的QR 分解 
     3.3.3   矩阵的满秩分解   
     3.3.4   矩阵的奇异值分解  
     3.3.5   矩阵的谱分解  
  3.4   解题方法指导   
  3.5   内容结构框图  
  3.6   典型题剖析  
  3.7   答疑解惑   
  3.8   《教材》习题全解   
  3.9   自测试题及解答   
     自测试题一  
     自测试题一解答   
     自测试题二 
     自测试题二解答   
第4章 矩阵函数与范数理论  
  4.1   内容提要  
  4.2   基本教学要求   
  4.3   概念、结论与相关说明  
     4.3.1   矩阵多项式  
     4.3.2   最小多项式  
     4.3.3   矩阵函数  
     4.3.4   向量范数 
     4.3.5   矩阵范数  
     4.3.6   向量范数与矩阵范数的关系  
  4.4   解题方法指导 

  4.5   内容结构框图   
  4.6   典型题剖析   
  4.7   答疑解惑   

  4.8    《教材》习题全解   
  4.9   自测试题及解答  
     自测试题一 
     自测试题一解答   
     自测试题二 
     自测试题二解答  

  第5章   矩阵分析 
  5.1   内容提要   
  5.2   基本数学要求 
  5.3   概念、结论与相关说明   
     5.3.1   向量序列敛散性   
     5.3.2   矩阵序列的敛散性  
     5.3.3   方阵幂收敛   
     5.3.4   函数矩阵
     5.3.5   函数矩阵的极限与连续   
     5.3.6   函数矩阵的导数  
     5.3.7   纯量函数对向量变量与对矩阵变量的导数  
     5.3.8   函数矩阵对矩阵变量的导数   
     5.3.9   函数矩阵的积分 
  5.4   解题方法指导   
  5.5   内容结构框图   
  5.6   典型题剖析   
  5.7   答疑解惑  

  5.8   《教材》习题全解   
  5.9   自测试题及解答   
     自测试题一  
     自测试题一解答   
     自测试题二  
     自测试题二解答  
第6章   矩阵级数  
  6.1    内容提要  
  6.2    基本教学要求   
  6.3    概念、结论与相关说明
     6.3.1     矩阵级数的概念   
     6.3.2    矩阵级数的收敛性  
     6.3.3    矩阵级数的绝对收敛性 
     6.3.4   收敛的矩阵级数的基本性质   
     6.3.5    矩阵幂级数   
     6.3.6   Neumann级数   
     6.3.7   矩阵函数的解析定义  
     6.3.8   拉格朗日—西勒维斯特(LagrangeSylvester)定理与说明   
     6.3.9   矩阵函数展开成矩阵幂级数  
     6.3.10   解一阶线性常系数微分方程组   
  6.4    解题方法指导   
  6.5     内容结构框图 
  6.6    典型题剖析  
  6.7    答疑解惑   
  6.8   　《教材》习题全解
  6.9    自测试题及解答   
     自测试题一  
     自测试题一解答  
     自测试题二   
     自测试题二解答   
第7章 广义逆矩阵  
  7.1   内容提要  
  7.2   基本教学要求  
  7.3   概念、结论与相关说明   
     7.3.1   广义逆矩阵A －和相容线性方程组的解    
     7.3.2   广义逆矩阵A －m和相容线性方程组的极小范数解    
     7.3.3   广义逆矩阵A －l和不相容线性方程组的最小二乘解   
     7.3.4   广义逆矩阵A ＋和不相容线性方程组的极小最小二乘解   
  7.4   解题方法指导  
  7.5   内容结构框图   
  7.6   典型题剖析 
  7.7   答疑解惑  

  7.8  《教材》习题全解   
  7.9   自测试题及解答   
     自测试题一   
     自测试题一解答   
     自测试题二 
     自测试题二解答   
  第8章   综合测试题及解答  
     测试题一  
     测试题一答案   
     测试题二  
     测试题二答案 
     测试题三  
     测试题三答案   
     测试题四  
     测试题四答案   
     测试题五   
     测试题五答案  
     测试题六 
     测试题六答案   
主要参考书目

前   言

    ２０世纪５０年代后在近代数学、工程技术、信息科技、经济理论和管理科学中都大量用到矩阵这个数学工具，发展到今天，关于矩阵已形成一整套的理论与方法，内容非常丰富，产生了数学的一个重要分支——矩阵论。随着现代化科技发展，特别是计算机技术的发展，为矩阵论的研究开辟了更加广阔的前景。因此对于高等理工科院校研究生、本科生来说，“矩阵论”已成为必须学习的数学基础知识。国家教育部制定了研究生开设“矩阵论”课程的教学大纲，提出教学基本要求。我们根据多年教学实践与体会，参照教育部颁布的教学大纲和基本要求编写了《矩阵理论与方法》研究生教材，于2006年由电子工业出版社正式出版，并于2008年经北京信息科技大学推荐参评，被北京市教育委员会评为“北京高等教育精品教材”。
    “矩阵论”课程概念多且抽象，结论多且烦杂，算法多且技巧性强，教学思维方式也独特，学生学起来往往感到困难多， 为了能引导学生克服上述困难并能使学生全面理解教学内容，掌握解题技巧，提高分析能力，我们编写了这本“矩阵论”课程的学习指导书。为了有针对性地解决读者学习中的困难，我们力求使这本学习指导书的编写具有以下特色。
    （1）　归纳概念与结论时附加说明。每章在对一些主要概念、重要结论作系统归纳后，加【说明】给出言简意赅地概括、深入浅出地表述、切中要害的指点，使读者领悟知识更深刻、思路更开阔。
    （2）　 解题方法系统化。对50类问题的常用计算方法给出条理清晰的步骤、程序，使读者见题后能熟练地按步计算，较快得到准确结果。
    （3）　 知识结构框图化。每章都附有知识结构框图，用简单明了的方框及连线标示出全章重点知识及它们的内在联系，使读者能一目了然地抓住各章内容的重点、清晰地理清知识之间的内在联系。
    （4） 对典型题加以剖析、解答与评注。列举了88个典型例题，每个例题解题前都有【分析】，部分例题解题后加有【评注】，使读者在解题前学会找方法、找思路；解题后得体会、有心得，还有一些例题给出多种解题方法，也会使读者解题技巧得到提高。
    （5） 　精选难题答疑解惑。全书筛选出了读者在学习中可能遇到的85个疑难或有疑问的问题，在解答过程中引导读者不断解决疑问、清除困惑，使难题被抽丝剥茧般得以解决。
    （6）对教材《矩阵理论与方法》（第二版）中各章精选出的共125道习题，都做了详细的解答。这对广大读者来说，也是复习、迎考的重要参考资料。
    （7）　 给出覆盖知识全面的测试题。每章配有难度不同的两套自测试题，全书配有难度不同的六套综合测试题。测试题重视融会贯通、灵活运用，并都附有参考解答和标准答案。题型多、知识面广，能有效地检验学习效果，提高读者分析解决问题的能力。
    本指导书在章节体系、主要符号,以及定理、定义的序号方面大部分与电子工业出版社出版“北京高等教育精品教材”《矩阵理论与方法》（第二版）保持一致，方便读者配套使用。本书各章在引用此教材时，简写《教材》。同时由于编写的指导书是依据了教育部制定的教学大纲，并在主要内容上注意了与全国大多数高等院校使用的矩阵论教材保持一致，因此本指导书对使用其他矩阵论教材学习的读者也能起到很好的辅导作用。对于从事实际工作的工程技术人员、从事矩阵论教学工作的教师及参加博士生入学矩阵论课程考试的有关人员都有一定的参考价值。
    本指导书的内容结构在目录中已清楚列出，在此不再重述。每章只在第3节列出子目录,既简单明了,也便于读者了解在其他各节包含哪些内容。
    本指导书适用辅导６０学时左右的“矩阵论”课程教学，若因学时所限可以选用。
    本指导书分为８章，由吴昌悫（第1，第5章）、魏洪增（第3，第7章）、刘向丽（第4章）、尤彦玲（第6章）、孙妍（第2章）分工编写，第8章在大家编写的基础上由刘向丽与孙妍整理编撰。全书由吴昌悫、魏洪增两位教授及刘向丽三位教授（中央财经大学）统稿。
    本指导书在编写过程中参考了一些兄弟院校作者编写的书籍，受到不少启示，指导书的出版得到了电子工业出版社陈晓莉编辑的大力支持，编者在此一并表示衷心感谢。
    张谊滨、汪恩松、白小亮、蒋强、丁晓宇、汪翔６位同志为本书各章例题、习题、综合测试题的验算、内容校对、排版打印等做了大量工作，编者在此也致以真诚谢意。
    限于水平、书中不足之处难免，敬请广大读者批评指正。

编 者
201３年9月于北京

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矩阵理论与方法学习指导