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本书是"北京高等教育精品教材"，详细讨论了在实际工程中具有应用价值的矩阵理论与方法。全书共分7章，内容包括线性空间与线性变换、矩阵的相似标准形、矩阵分解、矩阵函数与范数理论、矩阵的微分与积分、矩阵级数及广义逆矩阵。为了便于读者学习，各章结合内容配备一定数量的例题、习题、习题提示和习题答案。同时配套出版了《矩阵理论与方法学习指导》书。本书内容丰富、阐述简明、推导严谨、学时适中，适合作为高等学校工科硕士研究生教材，也适于作为理工科各专业高年级本科生选修教材，同时对从事矩阵理论教学的教师及工程技术人员也是一本较好的参考书。

目  录

第1章      线性空间与线性变换       
     1.1      线性空间     
       1.1.1      线性空间的概念及实例           
       1.1.2      基、维数与坐标       
       1.1.3      基变换与坐标变换      
     1.2      线性子空间     
   1.2.1      线性子空间的概念及实例       
   1.2.2      子空间的交与和     
   1.2.3      子空间的直和与补子空间      
     1.3      线性变换      
   1.3.1      线性变换的概念及实例      
   1.3.2      线性变换的运算      
   1.3.3      线性变换的矩阵表示       
       1.3.4      线性映射的矩阵表示       
     1.4      与线性变换有关的子空间       
   1.4.1      线性变换的值域与核             
       1.4.2      线性变换的不变子空间     
     1.5      欧氏空间与酉空间    
       1.5.1      欧氏空间的定义与性质     
       1.5.2      度量矩阵及可度量的量     
       1.5.3      标准正交基     
       1.5.4      酉空间介绍  
     习题1    
第2章      矩阵的相似标准形         
     2.1      相似矩阵      
   2.1.1      相似矩阵及其性质      
       2.1.2      矩阵与对角矩阵相似的条件       
   2.1.3      相似不变量       
     2.2          λ矩阵及其标准形     
   2.2.1      λ矩阵            
   2.2.2      λ矩阵的标准形      
     2.3      不变因子与初等因子     
       2.3.1      不变因子           
       2.3.2      初等因子    
     2.4      Jordan标准形     
       2.4.1      矩阵的Jordan标准形     
       2.4.2      Jordan标准形的求法      
     习题2      
第3章      矩阵分解         
     3.1      矩阵的三角分解    
       3.1.1      Gauss消去法的矩阵表述          
       3.1.2      矩阵的三角分解    
       3.1.3      降秩矩阵与分块矩阵的三角分解   
     3.2      矩阵的QR分解    
       3.2.1      矩阵的 QR  分解     
       3.2.2      用初等旋转矩阵求矩阵的QR分解       
   3.2.3      用初等反射矩阵求矩阵的QR分解   
     3.3      矩阵的满秩分解   
       3.3.1      矩阵满秩分解的存在性      
       3.3.2      用矩阵的行最简形矩阵求满秩分解    
   3.3.3      关于行满秩或列满秩矩阵的性质     
     3.4      矩阵的奇异值分解    
   3.4.1      Schur引理及正规矩阵的分解    
   3.4.2      矩阵的奇异值分解    
     3.5      矩阵的谱分解      
   3.5.1      可对角化方阵的谱分解     
   3.5.2      正规矩阵的谱分解      
     习题3    
第4章      矩阵函数与范数理论         
     4.1      矩阵多项式与最小多项式    
   4.1.1      矩阵多项式的概念与运算     
   4.1.2      CayleyHamilton定理      
   4.1.3      最小多项式的性质与求法      
     4.2      矩阵函数       
   4.2.1      预备知识      
   4.2.2      矩阵函数的概念与性质       
   4.2.3      矩阵函数的求法     
     4.3      向量的范数      
       4.3.1      向量范数的概念与性质       
       4.3.2      向量范数的连续性与等价性       
     4.4      矩阵的范数      
       4.4.1      矩阵范数的概念与性质       
       4.4.2      F范数的性质 
     4.4.3      向量范数与方阵范数的关系      
     习题4      
第5章      矩阵分析           
     5.1      向量序列的极限      
   5.1.1      向量序列收敛的概念及条件       
       5.1.2      一般向量空间中柯西序列与向量序列
的收敛关系     
     5.2      矩阵序列的极限   
   5.2.1      矩阵序列收敛的概念及条件    
       5.2.2      收敛矩阵序列的运算性质    
       5.2.3      方阵幂收敛概念及定理      
     5.3      函数矩阵       
   5.3.1      函数矩阵的定义与运算     
       5.3.2      函数矩阵的极限与连续      
     5.4      函数矩阵的微分      
   5.4.1      函数矩阵的导数     
       5.4.2      纯量函数对矩阵变量的导数      
   5.4.3      函数矩阵对矩阵变量的导数   
     5.5      矩阵的积分      
     习题5      
第6章      矩阵级数          
     6.1      矩阵级数的概念和性质       
     6.2      矩阵幂级数      
     6.3      矩阵函数展开成矩阵幂级数  
     6.4      矩阵函数的一些应用     
   6.4.1      一阶线性常系数齐次微分方程组的解    
       6.4.2      一阶线性常系数非齐次微分方程组的解       
     习题6     
第7章      广义逆矩阵            
     7.1      广义逆矩阵A -      
   7.1.1      广义逆矩阵的引入       
   7.1.2      广义逆矩阵A-的定义及存在性      
   7.1.3      广义逆矩阵A -的性质与计算   
   7.1.4      相容线性方程组的解与广义逆矩阵A -       
     7.2      广义逆矩阵A -m  
       7.2.1      广义逆矩阵A -m的定义及计算       
       7.2.2      相容方程组的极小范数解与广义逆矩阵A -m 
     7.3      广义逆矩阵A-l       
       7.3.1      广义逆矩阵A-l的定义与计算    
       7.3.2      不相容方程组的最小二乘解与广义逆矩阵A -l      
     7.4      广义逆矩阵A +      
       7.4.1      广义逆矩阵A+的定义与性质 
       7.4.2      广义逆矩阵A +的一些计算方法 
       7.4.3      不相容方程组的极小最小二乘解与广义逆矩阵A +       
     习题7      
习题提示             
习题答案            
参考文献

第二版前言

    本书第一版是北京信息科技大学的教改立项项目。该项目得到学校领导和教务处的大力支持。原国家教委研究生数学课程教学指导委员会委员北京航空航天大学王日爽教授仔细审阅了教材的全部内容，并提出了重要建议。2006年由电子工业出版社出版，两年左右销售6000多本，无论是作为教材还是参考书，都得到广大读者认可。2008年经北京信息科技大学推荐参评，被北京市教育委员会评为北京市高等教育精品教材。
    为了更好地满足广大读者的需求，作为该书的编者，我们有责任向大家提供更优质的教材。几年来，我们一直努力地做两项工作：第一项工作是在教学实践与征求读者意见的基础上，对本书第一版进行修订；第二项工作是编写与该教材配套的有特色的学习指导书，书名是《矩阵理论与方法学习指导》，目前这两项工作已完成，即将与广大读者见面，希望大家提出宝贵意见，在此先向大家致谢。
    关于第二项工作的详细情况，我们在《矩阵理论与方法学习指导》书的前言中已经做了介绍，在此不再重述。下面向大家介绍对教材第一版修订的有关问题。修订的原则是：保留第一版教材的系统结构与编写风格，力求更好地突出第一版在论述严谨、深入浅出、通俗易懂、密切联系已学知识，既便于教又便于学的优点。
    修订时，首先纠正了一些不妥之处，统一了常用的符号，对有些问题进行了充实完善，并在以下几方面做了改动：
    (1) 对全书的“主要符号说明”进行增、删、调整和修改。
    (2) 依据教学基本要求，确定全书必学与选学内容。全书教学约用50～60学时，若学时有限可选择其中部分内容。选学的内容与选作习题用“”号标示。
    (3) 补充或改述了书中一些定义、定理及证明过程，删去了个别内容，更换了部分例题。内容方面主要改动概述如下：
    第1章中，在1.1节，改述了关于坐标变换公式的定理1.1.1。
    在1.2节，改述了关于线性子空间的定义1.2.1，增加了子空间交的定义1.2.2。改述了定理1.2.3。      
在1.5节，把欧氏空间基向量的度量矩阵从有关叙述中移出，作为定义1.5.2。给出了说明欧氏空间中不同基度量矩阵关系的定理1.5.1。增加了定理1.5.5，列出了正交矩阵的5条性质。   
 第5章中，在5.2节，改述了关于矩阵序列运算性质的定理5.2.2。
    在5.4节，改述了关于函数矩阵求导法则的定理5.4.1。结合例5.4.6提出了雅可比(Jacobi)      矩阵与雅可比行列式概念，以加强与高等教学多元函数微分学的联系。
    在5.5节，删去了函数矩阵对矩阵变量积分的内容。
    第6章中，在6.1节，为与其他章矩阵序列符号表示一致，对矩阵级数的一般项的表示做了修改，将A(k)改为Ak。
    在6.2节，更改了定理6.2.5(拉格朗日西勒维斯特定理)的叙述和证明。
    在6.4节，将函数矩阵应用的内容做了修改。
    第7章中，在7.1节，把定理7.1.3中A－性质(1)、(2)做了修改。
    在7.2节，把讨论广义逆矩阵A－m的定理7.2.1中的(3)重新进行
了证明。
    在7.3节，把讨论广义逆矩阵A－l的定理7.3.1中的(3)重新进行
了证明。
    (4) 教材的习题配置是教材的重要组成部分，是提高教学质量的重要环节。为此，对全书的习题做了认真的审查，进行了必要的修改与调整，原则是依据教学基本要求、注意知
识层次，拓宽内容覆盖，题型配置既有基本概念与基本运算的题，又有较难的计算与证明题。下面扼要说明各章习题修改情况：
    按预定原则重新编写了第1、5两章习题；重整了第7章习题，突出了广义逆矩阵的计算结果与线性方程组解的关系，并补充了12道广义逆矩阵的证明题；第2、4、6章也分别更改了部分习题的顺序及叙述方式，添加了一些习题。习题总量也适当增加。同时对各章习题提示与答案也做了相应的修改。期望修改后的各章习题，能在复习和理解知识与检查学习效果方面发挥良好作用。
    全书分为7章，由吴昌悫(第1、5章)、魏洪增(第3、7章)、刘向丽(第4章)、尤彦玲(第6章)、孙妍(第2章)分工修改编写，吴昌悫、魏洪增两位教授任主编,并审定全书。
    张谊宾、汪恩松、白小亮、蒋强、丁晓宇、汪翔6位同志参与了本书各章例题、习题、综合测试题的验算、内容校对、排版打印等大量工作，编者在此也致以真诚谢意。
    修订过程中参考了一些兄弟院校同行编写的书籍，受到不少启示。教材第二版的出版得到了电子工业出版社陈晓莉编审的大力支持，编者在此一并表示诚挚的谢意。
    本书第一版的第1、5章、第4章的4.3节、4.4节及第6章的6.4节由吴昌悫编写，第3、7章由魏洪增编写，第2章、第4章的4.1节、4.2节由刘向丽编写，第6章的6.1节、6.2节及6.3节由尤彦玲编写。全书由吴昌悫、魏洪增两位教授主编。
    限于水平，修订版书中不足之处难免，欢迎同行和广大读者批评指正。
编者
2013年5月于北京

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矩阵理论与方法(第2版)