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高等数学

作译者：邱茂路

出版时间：2009-08 千字数：558 版次：1-01 页数：456

开本：16(169*239) 装帧： I S B N ：9787121093463

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第1章  函数
1.1  函数的概念
1.1.1  函数的概念
1.1.2  满射，单射，双射
1.1.3  反函数
1.1.4  复合函数
习题
1.2  反三角函数
1.2.1  反正弦函数x=arcsin y
1.2.2  反余弦函数x = arccos y
1.2.3  反正切函数x = arctan y
1.2.4  反余切x = arccot y
习题
1.3  函数的基本性质
1.3.1  函数的基本性质
1.3.2  初等函数
1.3.3  分段函数
1.3.4  隐函数
习题
第2章  函数的极限
2.1  极限的概念
2.1.1  xx0时，函数f (x)的极限
2.1.2  x时，函数f (x)的极限
2.1.3  数列的极限
习题
2.2  无穷小量与无穷大量
2.2.1  无穷小量
2.2.2  无穷小量的阶
2.2.3  无穷大量
2.2.4  无穷大量与无穷小量的关系，极限与无穷小量的关系
习题
2.3  极限的计算
2.3.1  用四则运算法则求极限
2.3.2  用两边夹定理求极限
习题
2.4  用两个重要极限求极限
2.4.1  重要极限 =
2.4.2  重要极限 e
习题
2.5  用等价无穷小量替换和变量替换求极限
2.5.1  用等价无穷小量替换求极限
2.5.2  用变量替换求极限
2.5.3  极限的思想
习题
第3章  函数的连续性
3.1  连续函数的概念
3.1.1  函数在一点连续的概念
3.1.2  函数在一点左、右连续
3.1.3  函数在一区间上连续
3.1.4  极限号可以取到连续函数里面去
习题
3.2  连续函数的性质
3.2.1  基本初等函数的连续性
3.2.2  连续函数的运算性质
3.2.3  初等函数的连续性
3.2.4  有界闭区间上的连续函数的性质
3.2.5  方程f (x) = 0解的存在性定理
习题
第4章  导数与微分
4.1  导数的概念
4.1.1  引例
4.1.2  在一点处的导数
4.1.3  导函数
4.1.4  导函数、导数值的其他记号
4.1.5  导数的意义
习题
4.2  导数的基本公式与求导法则
4.2.1  基本初等函数的导数
4.2.2  函数的和、差、积、商的导数
习题
4.3  复合函数、反函数的求导法则
4.3.1  复合函数的求导公式
4.3.2  反函数的求导法则
4.3.3  导数基本公式与法则
习题
4.4  隐函数求导法，高阶导数
4.4.1  隐函数的导数
4.4.2  高阶导数
习题
4.5  函数的微分
4.5.1  函数改变量
4.5.2  微分的定义
4.5.3  可微与可导的关系，微分的计算
4.5.4  微分法则
4.5.5  复合函数微分法
习题
4.6  泰勒公式
4.6.1  泰勒公式
4.6.2  泰勒公式的直观推导
习题
第5章  微分中值定理及其应用
5.1  微分中值定理
5.1.1  拉格朗日微分中值定理
5.1.2  用导数符号判断函数的单调性
5.1.3  用单调性证明不等式
习题
5.2  函数的极值
5.2.1  极值的概念
5.2.2  极值的必要条件
5.2.3  极值的充分条件
5.2.4  极值的计算
习题
5.3  罗必塔法则
5.3.1   型的未定式的极限
5.3.2   型的未定式的极限
5.3.3  其他类型的未定式的极限
习题
第6章  不定积分
6.1  不定积分的概念、公式与性质
6.1.1  不定积分的概念
6.1.2  基本初等函数的积分公式
6.1.3  不定积分的线性性质
6.1.4  直接积分法
习题
6.2  第一换元积分法
6.2.1  第一换元法（凑微分法）
6.2.2  几个积分公式
6.2.3  几个重要的三角函数积分
习题
6.3  第二换元积分法
习题
6.4  分部积分法
习题
第7章  定积分
7.1  定积分的概念
7.1.1  引例
7.1.2  定积分的定义
7.1.3  定积分的几何意义
习题
7.2  定积分的性质
习题
7.3  微积分基本定理
7.3.1  变上限积分
7.3.2  微积分第一基本定理（原函数存在定理）
7.3.3  微积分第二基本定理（牛顿—莱不尼兹公式）
7.3.4  定积分的又两条性质
7.3.5  关于术语“定积分”和“不定积分”
习题
7.4  定积分的换元积分法
7.4.1  定积分第一换元法（凑微分法）
7.4.2  定积分第二换元法
习题
7.5  定积分的分部积分法
7.5.1  定积分的分部积分法
7.5.2  一类三角函数式的积分
习题
7.6  无穷限广义积分
7.6.1  无穷限广义积分的概念
7.6.2  无穷限广义积分的计算
7.6.3  函数的概念
7.6.4  函数的性质
7.6.5  函数在整数点处的函数值
习题
7.7  定积分应用
7.7.1  平面图形的积分
7.7.2  旋转体体积
7.7.3  变速直线运动的路程
7.7.4  变力作功
习题
第8章  多元函数微分学
8.1  空间解析几何简介
8.1.1  空间直角坐标系
8.1.2  空间两点间的距离
8.1.3  空间中的曲面与方程
习题
8.2  多元函数
8.2.1  平面区域
8.2.2  多元函数的概念
8.2.3  二元函数的几何表示
习题
8.3  二元函数的极限与连续
8.3.1  二元函数的极限
8.3.2  二元函数的连续性
8.3.3  连续函数的性质
8.3.4  有界闭区域上连续函数的性质
习题
8.4  偏导数
8.4.1  在一点处的偏导数
8.4.2  偏导函数
8.4.3  高阶偏导数
习题
8.5  全微分
8.5.1  微分的概念
8.5.2  可微充分条件，全微分的计算
习题
8.6  复合函数微分法
8.6.1  两个中间变量，一个自变量
8.6.2  两个中间变量，两个自变量
习题
8.7  隐函数微分法
8.7.1  由方程F (x, y) = 0确定的隐函数y = y (x)的导数
8.7.2  由方程F (x, y, z) = 0确定的二元隐函数的导数
习题
8.8  二元函数的极值
8.8.1  极值的概念
8.8.2  极值必要条件
8.8.3  极值充分条件
8.8.4  极值计算步骤
习题
8.9  条件极值
8.9.1  条件极值问题
8.9.2  条件极值的计算
习题
第9章  重积分
9.1  二重积分的概念
9.1.1  引例
9.1.2  二重积分的定义
习题
9.2  二重积分的性质
习题
9.3  二重积分化为累次积分
9.3.1  当积分区域为X-型
9.3.2  当积分区域D为Y-型
习题
9.4  直角坐标系下二重积分的计算
习题
第10章  矩阵与线性方程组
10.1  矩阵
10.1.1  矩阵的概念
10.1.2  矩阵的加法
10.1.3  数乘矩阵
习题
10.2  行简化梯形阵与消元法
10.2.1  行简化梯形阵
10.2.2  矩阵的初等行变换
10.2.3  线性方程组
10.2.4  消元法与化矩阵为行简化梯形阵
习题
10.3  线性方程组的解法
10.3.1  引例
10.3.2  解线性方程组的步骤
10.3.3  通解与特解
习题
10.4  矩阵的乘法与逆矩阵
10.4.1  矩阵的乘法
10.4.2  线性方程组的矩阵表示
10.4.3  单位矩阵与可逆矩阵
10.4.4  逆矩阵的计算
习题
第11章  线性空间与线性映射
11.1  线性空间的概念
习题
11.2  线性空间的基与维数
11.2.1  线性组合
11.2.2  线性相关
11.2.3  矢量空间的基
11.2.4  矢量的坐标表示
习题
11.3  线性映射的矩阵表示
11.3.1  线性映射
11.3.2  用矩阵给出线性映射
11.3.3  线性映射用矩阵表示
11.3.4  矩阵运算的映射意义
习题
11.4  线性映射的零空间与值域
11.4.1  子空间
11.4.2  线性映射的零空间与值域
11.4.3  线性映射与线性方程组解的关系
习题
第12章  行列式
12.1  方阵的行列式
12.1.1  行列式的概念
12.1.2  行列式的几何意义
12.1.3  行列式几何意义的应用
习题
12.2  行列式的性质与计算
12.2.1  行列式的性质
12.2.2  行列式的计算
习题
12.3  克来姆法则
12.3.1  二个未知数，二个方程的线性方程组
12.3.2  n个未知数，n个方程的线性方程组
习题
12.4  齐次线性方程组
12.4.1  基础解系
12.4.2  n个未知数，n个方程的齐次线性方程组有非零解的条件
习题
第13章  特征值与特征矢量
13.1  坐标变换，相似矩阵
13.1.1  坐标变换
13.1.2  线性映射的矩阵表示
13.1.3  相似矩阵
13.1.4  可对角化矩阵
习题
13.2  特征值与特征矢量
13.2.1  特征值与特征矢量的概念
13.2.2  特征值与特征矢量的求法
13.2.3  计算举例
习题
13.3  矩阵的对角化
习题
第14章  随机事件与概率
14.1  样本空间与随机事件
14.1.1  随机现象与统计规律
14.1.2  随机试验
14.1.3  样本空间（或总体）、样本点
14.1.4  随机事件
14.1.5  事件间的三种运算
习题
14.2  随机事件的概率
14.2.1  概率的古典定义
14.2.2  概率的频率定义
14.2.3  条件概率
14.2.4  概率的性质
习题
14.3  概率的计算法则
14.3.1  事件的三种关系及概率法则
14.3.2  和事件的概率法则
14.3.3  积事件的概率法则
14.3.4  灵活运用概率计算法则
习题
第15章  随机变量
15.1  随机变量及其概率分布
15.1.1  随机变量
15.1.2  离散型随机变量
15.1.3  离散型随机变量的概率分布密度
15.1.4  连续型随机变量及其概率分布
习题
15.2  随机变量的期望与方差
15.2.1  离散型随机变量的期望
15.2.2  连续型随机变量的期望
15.2.3  随机变量的函数的期望
15.2.4  数学期望的性质
习题
15.3  随机变量的方差
15.3.1  随机变量的方差
15.3.2  方差的性质
15.3.3  期望与方差的预测意义
习题
15.4  正态随机变量
15.4.1  正态分布
15.4.2  正态分布的期望与方差
15.4.3  标准正态分布
习题
15.5  多元离散随机变量的概率密度
15.5.1  联合概率分布密度
15.5.2  边缘概率密度
15.5.3  条件概率分布密度
15.5.4  统计独立性
习题
15.6  协方差与相关性
15.6.1  多元连续随机变量的概率密度
15.6.2  协方差
15.6.3  协方差的性质
15.6.4  相关系数
习题
第16章  数值级数
16.1  级数的概念
16.1.1  级数的概念
16.1.2  等比级数的敛散性
16.1.3  P-级数的敛散性
16.1.4  交错级数及其判敛法
习题
16.2  级数的性质
习题
16.3  正项级数及其判敛法
16.3.1  比较判敛法
16.3.2  比值判敛法
16.3.3  根值判别法
习题
16.4  任意项级数
16.4.1  绝对收敛与条件收敛
16.4.2  任意项级数的判敛法
习题
第17章  幂级数
17.1  幂级数的收敛域
17.1.1  幂级数概念
17.1.2  幂级数的收敛域
17.1.3  幂级数收敛域的求法
17.1.4  幂级数的一般形式
习题
17.2  幂级数求和
17.2.1  幂级数为等比级数
17.2.2  幂级数的性质
17.2.3  幂级数求导后为等比级数
17.2.4  幂级数积分后为等比级数
习题
17.3  将函数用幂级数表示
17.3.1  f (x)泰勒展开式
17.3.2  f (x) = ex泰勒展开式
17.3.3  f (x) = sin x泰勒展开式
17.3.4  f (x) = cos x泰勒展开式
17.3.5  欧拉公式
习题
第18章  傅里叶级数
18.1  傅里叶级数的概念
18.1.1  周期函数
18.1.2  三角级数
18.1.3  将周期为2p的函数展成三角级数
18.1.4  傅里叶级数
习题
18.2  傅里叶级数的收敛定理
18.2.1  分段光滑函数
18.2.2  收敛定理
18.2.3  将函数展为傅里叶级数
习题
18.3  将函数展为傅里叶级数的例子
18.3.1  将函数展为傅里叶级数
18.3.2  偶函数和奇函数
18.3.3  奇偶函数的傅里叶级数
习题
18.4  以2l为周期的函数的傅里叶级数； 傅里叶级数的物理意义
18.4.1  以2l为周期的函数的傅里叶级数
18.4.2  傅里叶级数的物理意义
习题
第19章  微分方程
19.1  微分方程的基本概念
19.1.1  微分方程的例
19.1.2  微分方程
19.1.3  微分方程的阶
19.1.4  微分方程的解
19.1.5  初始条件
19.1.6  初值问题
习题
19.2  可分离变量的方程
习题
19.3  一阶线性微分方程
19.3.1  一阶线性方程
19.3.2  一阶线性齐次方程的解法
19.3.3  一阶线性非齐次方程的解法
习题
19.4  二阶线性常系数齐次微分方程
19.4.1  二阶线性常系数齐次方程解的性质
19.4.2  二阶线性常系数齐次方程的特征方程
19.4.3  二阶线性常系数齐次方程的解法
习题
19.5  二阶线性常系数非齐次微分方程
19.5.1  二阶线性常系数非齐次方程解的结构定理
19.5.2  二阶线性常系数非齐次方程特解的求法
习题
第20章  矢量分析
20.1  矢量及其运算性质
20.1.1  矢量与标量
20.1.2  矢量的三种乘法
20.1.3  矢量乘法运算的坐标形式
20.1.4  标量三重积
习题
20.2  空间曲线与曲面的参数方程
20.2.1  空间曲线的参数方程
20.2.2  线矢量微元
20.2.3  曲线的切矢量
20.2.4  空间曲面的参数方程
20.2.5  面矢量微元dS及其分量
习题
20.3  场的梯度、散度与旋度
20.3.1  场
20.3.2  标量场的梯度
20.3.3  梯度的变化率意义
20.3.4  梯度的方向
20.3.5  哈米顿算子
20.3.6  矢量场的散度
20.3.7  矢量场的旋度
习题
20.4  路径积分、环流
20.4.1  路径积分
20.4.2  路径积分的性质
20.4.3  环流
20.4.4  路径积分的计算方法
习题
20.5  通量、曲面积分
20.5.1  通量，曲面积分
20.5.2  曲面积分的计算方法
习题
20.6  梯度定理与高斯定理
20.6.1  梯度定理
20.6.2  高斯定理
20.6.3  高斯定理的直观推导
20.6.4  散度的物理意义
习题
20.7  斯托克斯定理
20.7.1  斯托克斯定理
20.7.2  斯托克斯定理的直观推导
20.7.3  旋度的物理意义
习题

前    言
教书几十年，在教学方法和教材的处理上，有一些“得意”之处，总觉得这些处理能够使数学的“教”与“学”变得容易一些。因而想将其“公诸于世”，以期使更多的学习者，能在数学的学习上节省一些时间。
一、写作特点
如今的数学教材林立，故一本新的教材要出现，应该有其优势（或叫特色）才能立足。我们在这部教材的编写过程中，力求做到以下四点：
1．简明
在讲述上，不去“面面俱到”、“唯恐遗漏”——其实，总想让读者什么都知道，结果常常适得其反。因此，我们每节只讲一两个主题，删去过于偏远、过于复杂的例子和证明，而重点说明概念和定理的直观意义，让读者得其精神，得其要领。
2．通俗
在语言上力求通俗。对于抽象的东西，放弃一点“严格”和“准确”，让表达多一些灵活和自然，有利于初学者的理解和接受。
3．直观
追求数学内容的直观意义，以使读者更易理解。我们采用下述两个措施来实现： 
① 具体——用简单的例子说明抽象的东西；
② 有形——力图在二维和三维空间中，表达所要说的“东西”。
4．实用
在选材上，我们注意以下三个方面：
① 对解答本书习题有用；
② 对学习后继课程有用；
③ 对解决实际问题有用。
我们期望这四点能够成为本书的特色。
另外，有些优秀的非数学教材，为使读者顺利阅读其内容而加入了一些数学的补充知识，这些补充常常简明、实用、针对性强。本书在编写过程中借鉴了这种处理方式。
二、内容的选取与编排
数学是科学的语言。几乎每一个学科、每一个专业，都要用到广泛的，甚至是很深的数学知识。在高职高专院校，由于偏重于技术、技能的学习和训练，数学课时一般安排比较少。要在较少的时间内，建立一个专业学习和发展所需的数学基础，就存在着一个“学哪些，学多深”的问题。
由于高职高专院校的大多数专业，只是把数学作为“语言”和“工具”，而不是作为“研究对象”。因此，在面向高职高专的数学教材中，不必过多地涉及理论和技术的细节，应把时间和精力用在方法的使用说明上。所以，应当删去那些过于“技巧”、过于“艺术”的演算和证明，删去那些应用上很少遇到的定理和性质，删去那些太偏的例题和习题，以将节约出来的时间，用于讲清概念，讲清常用定理的意义和使用方法。
这些观点和看法，支配了我们对内容的选取和编排。
本书由20章组成。1～9章讲述微积分；10～13章讲述线性代数；14、15两章讲述概率论；16、17、18三章分别讲述数值级数、幂级数、傅里叶级数；19章讲述微分方程；20章讲述矢量分析。
在微积分内容中，我们把极限与连续拆开各自作为一章；在极限的处理上，删去了极限的 - 定义、 -N定义，只给出极限的描述性定义；增加了通常被省略的泰勒公式；对微分中值定理只讲拉格朗日微分中值定理；对不定积分强调了其反导数的意义；在三个“积分法”的处理上，并不把三个积分法作为定理提出，而把重点放在如何使用这些方法的讲解上；在定积分的应用中，强调了微元分析法的使用。
在线性代数内容中，突出了行简化梯形、化矩阵为行简化梯形的技术；突出了线性空间与线性映射的概念；介绍了零空间和值域空间；淡化了行列式计算的复杂技巧；强调了矩阵行列式的几何意义；突出了特征值、特征向量的计算方法与矩阵对角化的方法。
在概率内容中，只给出概率的古典定义和频率定义，并试图突出概率的比率意义，略去了概率的公理化定义；对事件概率的计算，重点讲述了五条概率计算法则；对随机变量，并没有像传统教材中那样，把其定义成样本空间上的函数，而是直接定义成随着机遇变化的量，因为在实际应用中，人们并不在意那个样本空间，而且常常并不知道那个样本空间是什么；对随机变量，强调了概率密度、均值、方差；对多元随机变量，强调了联合概率分布密度、协方差、相关系数，这些都是在应用中频繁使用的概念。
在数值级数内容中，基本略去了判敛法的证明，而把重点放在判敛法的使用方法的说明上；强调了等比级数、级数敛散性的结论；在级数性质中略去了“收敛级数可以任意加括号的性质”；判敛法中，只介绍比较、比值、根值三个判敛法；在幂级数求和中，强调了等比级数、可化为等比级数的级数的求和，这样讲，容易为初学者掌握。
傅里叶级数与傅里叶变换，在今天的高科技时代，可以说是工程技术人员必不可少的工具。考虑到这部分内容在相应的专业课中都有补充，更主要的还是由于学时的限定，所以我们只能做简单介绍，重点放在周期函数展为傅里叶级数的方法上。
微分方程一章，重点介绍了一阶线性方程和二阶线性常系数方程的解法。
矢量分析一章的选入，考虑到与电磁、流体有关的专业需要。矢量分析的概念、公式和符号，在这些专业中，已成为表述问题的基本语言和工具。在这章中，把重点放在梯度、散度、旋度、环量、线积分、通量、面积分这几个概念上，以及高斯公式、斯托克斯公式的直观意义的说明上，目的是使读者理解这些概念和公式的意义，熟悉表达这些概念和公式的符号。
总之，在内容的选取和编排上，做了一些我们认为是合理的处理，期望这些处理能够方便初学者对内容的理解和掌握。
三、章节及容量的安排
在章节的安排上，基本以专题为“章”；每节突出一两个主题。这样可以使人感觉简洁利索，有利于教师组合教学内容和安排教学。同时，习题就配置在每节后，也便于学生同步练习。
在容量的安排上，我们不赞成有些教材，把一“节”写成十几页，甚至二十几页。读这样的书，如同行走在密林中，常常不知自己走的是什么方向。用这样的书作教材，教师每次课都不好“收摊”，课下练习也不好配置。
四、其他
本教材提供了与教材内容安全一致的电子课件，可登录华信教育资源网（www.hxedu.com.cn）免费下载。教师可以直接使用，也可以在此基础上，根据自己的意愿进行修改、补充和调整，以适合自己的教学需要。
本教材可作为电子类、计算机类、机械类等工科高职高专的数学教材，也可作为经济类、管理类专业的数学教材。因为作为数学基础，这些专业的要求基本是相同的。对普通本科院校的学生来说，本书是一本理想的数学入门读物。同时，本书也是高等数学教学理想的参考书。
五、致谢
基础课教材，作为人类科学文化的传播工具，是人类共同劳动成果的累积。
在长期的教学过程中，我们曾以一些优秀教材作为教学参考书，例如：莫达尔 N. 古亚拉提的《经济计量学精要》；David J. Griffiths的《Introduction to Quantum Mechanics》、《Introduction to Electrodynamics》；Thomas A. Garrity的《All the Mathematics You Missed》，Nathan Ida João P.A. Bastos的《Electromagnetics And Calculation of Fields》，Richard P. Ollenick, Tom M. Apostol & David L. Goodstein的《力学世界》、《力学以外的世界》；等等，不一一列举。
这些优秀教材中的一些好的处理方法，也潜移默化地体现在本书中。在此，向这些使我们在知识和教学方法上得以提高的作者们，表示诚挚的感谢。

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